分块矩阵在行列式计算中的应用new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第l4卷第1期河南教育学院学报(自然科学版)Vo1．14No．12005年3月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScience)Mar．20Q5分块矩阵在行列式计算中的应用王莲花，李念伟，梁志新(北京物资学院基础部，北京101149)摘要：给出利用分块矩阵计算行列式的一日·=lAC。Bl方法，即c-，当矩阵A或可逆时；c2，当矩阵A=口，c=D时；(3)当A与C或者B与C可交换时；(4)当矩阵日被分成两个特殊矩阵的和时行列式的计算．关键词：行

2、列式；分块矩阵；计算中圈分类号：O151．2文献标识码：A文章编号：1007—0834(2005)01—0012—04在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概fIACDBfI：=IAI．IB一—CA-1DI；(一1)念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化．而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式(2)当可逆时，有的计算问题．而事实上，利用分块矩阵方法计算行列fIACDBfI：=IA—一DBCI·IBI．⋯L2J(一2)式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果．本文给出利用分块矩阵计算行列式的证(1)根据分块矩阵的

3、乘法，有几种方法．1引理【一三一。三】【：】=【三日一一。。】引理设矩阵由引理知，两边取行列式即得(1)．Al(2)根据分块矩阵的乘法，有A2H=或[一c】D两边取行列式即得(2)．AlD注意：利用命题1解题时，要注意条件：矩阵A或BA2可逆．H=推论1设A，B，c，．D分别是m，n，n×m和mXn矩阵．证明其中Al，A2，⋯，A均为方阵，则(1)flDl：cDI；(3)1I=IAlllA21．··IA，I．⋯lADl2利用分块矩阵计算行列式设A、分别为m与n阶方阵．计算行列式(2IcIA。Dc)证明只需要在命题1的(1)中令A=E，即1

4、日IfADf=lIc1I．得(3)；在(2)中令B=En，即得(4)．2．1矩阵A或可逆时行列式1I的计算推论2C，D分别是n×m和m×n矩阵．命题1设A、B分别为m与n阶方阵．证明：(1)当A可逆时，有证明Eml=一∞--一．㈣收稿日期：2005—01—03作者简介：王莲花(1964)，女，河南宁陵人，北京物资学院基础部副教授，管理学硕士，从事代数教学和研究·l2·维普资讯http://www.cqvip.com证明在推论1的(3)中，令B=E，在(4)中，D=(1，1，⋯，1)．因为ai≠0，i=1，2，⋯，n，所以B是可逆矩阵．令A

5、=E，即得(5)．●●～●●例1计算下面2n阶行列式又易知A—DBC=(ao一耋去)●0～00ad从而由命题1中的(2)得●●0眈～00●adIlADlI=IA—一DB-ICI·．IBIH2I-(a≠0)JCBf～～～～～～cb●●00～0●=a。a2"""anao一●壹)．C(2)设Q=lEclrl兰l，其牟B=(c)，C=(bl，b2，⋯，b)，D：(al，az，⋯，alI)TA：[a·．a]，B=[b·．b]，由于CD=(bl，b2，⋯，b)(l，a2，⋯，an)n：∑aibic。。]'D=[d．．·d]’从而由推论1知，Q={。B

6、l=tB—c。t=c—i=lab．2．2矩阵A=B，c=D时行列式IHI的计算bca-id命题2设A，C是两个n阶方阵．则b-ca-ld"{lAcl_=IA+CI1．IA—一cCI'．JCAJb一。一。d]证根据行列式的性质和引理，有IACI—IA+CCI—lA+CClcAl—lC+AA{一{0A—Clt=IAI'IB-CA-IDI=IA+C1．IA—CI．例3计算行列式．0XYZX0zYD=Y0x(ai≠0，i=1，2，’ZYX0⋯，n)；解这道题看似简单，但如果方法选择不佳，做起来并不轻松．这里设A：c：[由命题2知(2)。=三lIA

7、+CllA-CI=IxYyzxzlly：yl解=[y2一(x+z)][y2一(x—z)]A：(X+Y+g)(一X+Y—z)，其中A：(ao)，(X+Y—z)(一X+Y+z)．2．3当A与C或者B与C可交换时行列式IHI的a2计算，C=(1，1，⋯，1)T，．．命题3设A，B，C，D都是n阶方阵．(1)如果Ac=CA，则维普资讯http://www.cqvip.com有较强的观察能力．这种方法特别能锻炼学生的思llCBl=IAB—CDI；维，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强其探(2)如果BC：CB，则究意识．例5计算下列n阶行列式：l

8、ACDBl：=IAB—DcCI-．[2】J023例4计算例2所给的2n阶行列式．103解设A，c如例2，则lH2I_}DB①D=120而Ac=cA，由命题3知：123lADlStl+ba2a3