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1、第五章习题参考答案与提示第五章数理统计初步习题参考答案与提示21.在总体X~N(52,6.3)中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值X落50.8到53.8之间的概率。2答案与提示：由于X~N(µ,σ/n)，所以PX{50.8<<53.8}=0.8293。22.在总体X~N(8,20)中随机抽取一长度为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大3的概率是多少？2答案与提示：由于XN~(µσ,/n)，所以PX{−>83}=0.133623．设X,X,?,X为来自总体X~P(λ)的一个样本，X、S分别为样本均值12n2和样本方差
2、。求DX及ES。答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体期望、总体方差的关系，显然应由定理5-1来解决这一问题。DXλ2DX==,ES=λ。nn24．设X，X，X，X是来自正态总体N(0，3)的随机样本，1234222X=a(X−2X)+b(2X−3X)。试确定a、b使统计量X服从χ分布，并指出其自1234由度。21/2答案与提示：依题意，要使统计量X服从χ分布，则必需使a(X−2X)及121/2b(2X−3X)服从标准正态分布。解得34a=1/45；b=1/117。25．设X和Y独立同分布N()03，
3、，X，X，?，X和Y，Y，?，Y分别是来自X129129XX+?+19和Y的简单抽样，试确定统计量U=所服从的分布。22YY++?19答案与提示：应用t分布的定义，得XX+?+19U=~t(9)22YY++?1916．设随机变量X~()tn(n>1)，试确定统计量Y=所服从的分布。2XU答案与提示：先由t分布的定义知X=，再利用F分布的定义即可。Vn—1—第五章习题参考答案与提示1Y=~F(n,1)。2X27.设总体X服从正态分布N(0,2)，而X,X,?,X是来自总体X的简单随121522X+?+X110机样本，试确定随机变量Y
4、=所服从的分布。222(X+?+X)1115222答案与提示：由于(X/4+?+X/4)/10~χ(10)，110222(X/4+?+X/4)/5~χ(5)，111522X+?+X110故Y=~F(10,5)222(X+?+X)1115228．设X,X,?,X为来自正态总体X~N(µ,σ)的一个样本，µ已知，求σ12n的极大似然估计。答案与提示：设x,x,?,x为样本XX，，?，X的一组观察值。则似然函数12n12n为n(x−µ)212n−in−−∑()xiµ21212σ2L（µ，σ)=∏e2σ=()2ei=1，2i=12πσ2π
5、σ2得σ的极大似然估计为n212σˆ=∑(xi−µ)。ni=19．设X~N(µ,1)，X,X,?,X为来自正态总体X的一个样本，试求µ的极12n大似然估计及矩估计。答案与提示：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本题只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。n1µ的极大似然估计为µˆ=∑Xi。ni=1n1µ的矩估计为µˆ=∑Xi。ni=110．设X,
6、X,?,X为来自正态总体的一个样本，求下述各总体的密度函数中12n的未知参数的矩估计及极大似然估计。θ⎧(θ+1)x,0−1为未知参数。—2—第五章习题参考答案与提示a⎧⎪λaxa−1e−λx,x>0,（2）f(x,λ)=⎨⎪⎩0,x≤0,其中λ为未知参数，a>0为常数。⎧x−x2/2θ2⎪e,x>0,（3）f(x)=⎨θ2⎪⎩0,其它,其中,θ>0,θ为未知参数。答案与提示：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因
7、此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本例只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据内容提要中的四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。21X−（1）矩估计：θ=。1−Xn极大似然估计：θ=−1−。n∑lnXii=1a⎡⎤1Γ()ˆ⎢⎥⎣a⎦（2）矩估计：λ=。aaaX极大似然估计：λˆ=n。na∑Xii=1（3）矩估计：θˆ=X2。πn极大似然估计:θˆ=1∑x2i2ni=111．设X，X，?，X为总体X的一个样本，且X服从几何分布，即12nk−1P{X=k}=(1−p)p,k=1,2,3,
8、?，求p的极大似然估计量。答案与提示：极大似然估计为p=1/X12．设XX，，?，X为总体X的一个样本，且X服从参数为m,p的二项分12n布，求p的极大似然估计量。答案与提示：p的极大似然估计量为p=X/m。13．设X，X，?，X为来自总体X的一个
