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1、年叙遭李内自然科学版第期关于点集拓扑学以及它的作用杨旭数学系‘。,,,自从本世纪初万耐性建立拓扑空间以来点集拓扑学经过半个多世纪的发展目、。,前已经形成了一门内容丰富应用广泛的数学学科由于理论研究和邻近学科的需要点集,,,拓扑学先后开创出不同的研究方向集值映射户义度量空间度量化间题拓扑结构的统、、。,一理论映射与空间超空间理论等都是点集拓扑学尔可分割的重要组成部分六十年代。。。的著名工作引起了点集拓扑学的一个飞跃集合论的思想方法作为一种新的工具应用,,于点集拓扑学许多长期未能解决的疑难问题迎刃而解从而开辟了一个新的研究领域集。,,论拓扑点集拓扑学在
2、本身不断丰富和发展的同时也不断地推动和应用于某些学科在泛、、、,。函分析微分方程测度论随机过程乃至于经济领域专门家们都要向点集拓扑学求教,,作为大学本科的必修课程点集拓扑学对于培养学生的抽象思维能力提高解决问题和,。分析问题的能力为进一步掌握和奠定近代数学的一些基础知识都是不可缺少的一门专业,对于点集拓扑的学习不但是学习和继承的过程同时也是进行科研训练的必不可少的重要阶。,,。段可见开设点集拓扑学这门课程其意义是何等深远点集拓扑学在近代数学中又是占。有何等的重要地位。,习惯的势力是最顽固的一种力量一个大学生在以往的学习过程中无论从欧儿里德的,,初等
3、几何到笛卡儿的直角坐标系还是从数学分析原理到实变函数论到处都是度量的观。,、,念因此他价在度量的观念下思考问题解决间题和回答问题久而久之就变成了一种习。惯,,正是由于度量的观念在一些学生的脑海中根深蒂固当他们学习点集拓扑学时就无不。,感到这门学科简直是一个不可思议的自在之物此时他们脑海中的度量观念不但不能成为,,帮助他们进行思维的一种工具相反却成为他们理解和运用点集拓扑学的原理及思想方法。,,、的主要障碍因此阐明点集拓扑学与实数的联系指出点集拓扑学的发生发展的整个过,,程的大概情况不能不对学生的学习具有一些根本性的启发就是对点集拓扑学这一学科的。教
4、学也不会没有意义,。和人类的整个认识过程完全相符点集拓扑学也绝不是从天上掉下来的一个数学分支“,。正如恩格斯所指出数学是数量的科学它从数量这个概念出发〕作为数学的一个,,重要分支点集拓扑学也可以说是从数量这个概念出发的它是从实数空间出发经过几次抽象。最终形成的一门科学、,,。,众所周知点集拓扑学的主要研究对象是拓扑空间的拓扑性质那么试间什么是拓©1994-2011ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net扑呢拓扑这个概念又是如
5、何抽象出来的呢这就涉及到建立拓扑的不同方式和整个历史过。程,二。,。。我们知道拓扑空间最初被、小吮仔建立年哪礴性广厂从邻域公理出发确,。定了拓扑从而开辟了点集拓扑学这一分支邻域公理,。、任工,“,设工是一个集合且工箫毋如果对任一个存在子集族使任叽,二任如果则,,肠,如果任叽则任叽则任,,幼,如果任叽则任,,,肠,。如果〔叽则存在任叽使二并且对任一,任有厂任,肠,。则称对任一厂任〔为上的一个拓扑“,,。我们亦称为点了相对于的邻域族或称为邻域系,。显然这里我们提到的邻域不外是从数学分析中借用的一个概念在数学分析的一些教,,鲜的集合,一酬。,。。材里所谓
6、实数的一个邻域往往被定义为某些实数使防这里换言,二劣。,之实数的邻域是包含的开区间把实数空间进行抽象从而得到度量空间在度量空间二。,。二里点的邻域定义为包含以为中心的某个开球的集合我们知道实数空间可以度量化,二,二。。,因此对任一个实数某实数集是的一个邻域应定义为存在使之有勿。一“,‘。以肠,,歹一刘这样点的邻域全体即满足述所谓邻域公理表示的邻域全体亦可。,二三。,〔叽即是我们熟知的实直线上的全体开集,称为的邻域系则对任一故。,,。称作实数空间的通常拓扑可见拓扑空间不是别的正是从实数空间抽象出来的数学结构。,琳二从邻域公理出发建立起拓扑空间的整个理
7、论这恰反映了当时分析的高度。发展和日趋成熟完善的程度。,‘。继刀心、之后波兰数学家枷。。沉应用不同的方法从闭包公理出发建立了拓。扑空间闭包公理,,设是一集合若对了的任一子集注都有的子集兀对应使之满足下列条件包含性兀尸加法性豆刃石一刃同等性又诱诱。。则了称为拓扑空间称为的闭包当又时称月为闭集闭集的补集称为开集,。这样从闭包合理出发就建立起拓扑空间,,不难看出我们以往在实数中讨论的闭集恰是满足闭包公理月又的那些实数集而开。集也就具备了从闭包公理出发建立的拓扑空伺的拓扑的基本性质,。从闭包公理来建立拓扑空间这反映了当时集合论发展的活跃程度和影响,,,由于
8、近世代数的影响人们从代数运算的角度给出建立拓扑空间的一条新的途径这。就是我们通常所说的开集公理开集公理©1994-2011
