山东大学数字信号处理课程试题答案(a卷)

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1、山东大学数字信号处理课程试题答案（A卷）1（1）数字信号处理机，计算机的软件；（2）方块图，信号流图；加法器，延时器；精确度，误差，稳定性，经济性及运算速度；ab（3）1−bc（4）3，0.5rad/s2解：y(n)=x(n)+1/3x(n-1)+3/4y(n-1)-1/8y(n-2)−1Y(z)1+1/3zH(z)==(1)−1−2X(z)1−3/4z+1/8za)直接I型：x(n)y(n)–1-1zz1/33/4-1-1/8zb)直接II型：x(n)y(n)-1z3/41/3-1z-1/8−11+1/3z1c)级联型：H（z）=•−1−11−1/4z1−1/2zz(n)–1-

2、1zz1/41/31/2−7/310/3d)并联型：H(z)=+−1−11−1/4z1−1/2z-7/3–1zx(n)1/4y(n)10/3–1z1/23答：IIR:用较少的阶数获得很高的选择性，存储单元少，运算次数少，效率高，代价为相位非线性FIR：严格线性相位，较多的阶数，效率低（2分）（1）若按相同的选择性和相同的相位线性要求，IIR加全通网络进行相位校正，要大大增加滤波器的节数和复杂性。（2）若要求严格线性相位，FIR性能上和经济上优于IIR。（3）从设计上看，IIR借助于模拟滤波器的结果可利用现成的设计公式来设计，成熟方便。（4）FIR无闭式解，用窗口函数设计，大多数设

3、计都用迭代法，实现时对硬件要求高。(8分)4证明：FFT算法：将一个N点的DFT运算分解，不妨设MNN=2,x(2r)=g(r),x(2r+1)=h(r),r=0,1,⋯−12则：x(n)的DFT可分解为：N−1nkX(k)=DFT[x(n)]=∑x(n)WNn=0N−1N−1nknk＝∑x(n)WN＋∑x(n)WNn=0n=0n为偶数n为奇数N/2−1N/2−12rk(2r+1)k＝∑g(r)WN＋∑h(r)WNr=0r=0N/2−1N/2−12rkk2rk＝∑g(r)WN＋WN∑h(r)WNr=0r=02π2π−j⋅2r−j⋅r∵W2r=eN=eN/2=WrNN/2N/2−1

4、N/2−1rkkrkk∴x(k)=∑g(r)WN/2+WN∑h(r)WN/2＝G(k)+WNH(k)r=0r=0则G(k),H(k)分别为g(r),h(r)的N/2点DFTr(N/2+k)rk又∵W=WN/2N/2N/2−1NN/2−1Nr(k+)∴G(k+)=∑g(r)W2=∑g(r)Wrk=G(k)N/2N/22r=0r=0N同理：H(k+)=H(k)2N2πN2π(+k)j(+k)jk∵W2=eN2=ejπ⋅eN=−WkNNk∴X(k)=G(k)+WH(k)NNNN(k+)NkX(k+)=G(k+)+W2H(k+)=G(k)−WH(k)(1)NN222MN由于N=2,仍为偶

5、数，故可继续分解。对任意一个N点DFT可通过M次分解，每222一个N点的DFT需要N次乘法运算和N次加法运算，最后完全成为2点DFT,即进行M次迭代，而每一个N点的FFT需要NM=NlogN次复乘运算，利用额外的对称性，2N只用logN次复乘运算，故DFT与FFT算法所需乘法次数改善比为：222N2N=(2)NlogNlogN222得证。5证明：h(n)满足奇对称条件,即：h(n)=–h(N-1-n)N−1(N−1)/2N−1−n−n−n(1)N为奇数时，H(z)=∑h(n)z=∑h(n)z+∑h(n)zn=0n=0n=(N+1)/2令第二项：n′=N-1-n，得：(N−1)/2

6、(N−3)/2−n−(N−1−n)H(z)=∑h(n)z+∑h(N−1−n)zn=0n=0(N−1)/2(N−3)/2−n−(N−1−n)=∑h(n)z–∑h(n)zn=0n=0N−1由于h(n)是奇对称的，故h()=02(N−3)/2(N−3)/2−n−(N−1−n)H(z)=∑h(n)z–∑h(n)zn=0n=0(N−3)/2jw−jwn−jw(N−1−n)H(e)=∑h(n)[e−e]n=0(N−3)/2N−1N−1jw(−n)−jw(−n)=e–jw(N-1)/2∑h(n)[e2−e2]n=0(N−3)/2N−1–jw(N-1)/2=e∑h(n)⋅2jsin[w(−n)]

7、n=02πj∵j=e2j⎛⎜π−wN−1⎞⎟(N−3)/2N−1∴H(ejw)=e⎝22⎠∑2h(n)sin[w(−n)]n=02πN−1其相位函数为：ϕ(w)=−w()22N−1N/2−1N−1−n−n−n(2)N为偶数时，H(z)=∑h(n)z=∑h(n)z＋∑h(n)zn=0n=0n=N/2令第二项n′=N-1-n，得：N/2−1N/2−1−n−(N−1−n)H(z)=∑h(n)z+∑h(N−1−n)zn=0n=0N/2−1N/2−1−n−(N−1−n)=∑h(n)z–∑h