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1、武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第二学期《线性代数》（A卷）学院专业学号姓名注：1.本试题供线性代数D（即工科36学时）使用；2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、计算题（每小题6分，5题共30分）：1、设α=()3,21,0,9,0，α=−()1,7,1,2,1−−，α=(2,14,0,6,1)，求向量组α,,αα的123123一个极大无关组。⎛⎞1231−−⎜⎟1211−2、设A=⎜⎟，求行列式AAΤ的值。⎜⎟0112−⎜⎟⎝⎠3024ΤΤ3、设αα=
2、=()(111,121−)，试求一个非零向量α，使α,,αα两两正交。12122224、判定二次型f(,,)x123xxxxxx=1+++++2263212xx213xx623x的正定性。⎛⎞aaa⎜⎟20065、已知A=bbb，求A。⎜⎟⎜⎟⎝⎠ccc二、解答题（每小题15分，2题共30分）：⎛⎞111−⎜⎟21、已知A=⎜⎟011，且A−=ABE，其中E是3阶单位矩阵，⎜⎟⎝⎠001−(1)求矩阵B；22C*（2）令CABB=−−+42AA2B，计算C的伴随阵。2、已知fxxx(,,)2=+−xx2xx
3、2xx123121323，（1）求一个正交变换X=PY,把二次型f化为标准形。（2）在x=1的条件下，求二次型f的最大值和最小值。三、证明与讨论（3题共40分）⎧λxxx++=0123⎪⎨xxx++=λ31、设有线性方程组123,问λ取何值时，此方程组有惟一解、无解或有无⎪⎩xxx++=λ−1123穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。（15分）2、设三阶阵A有三个实特征值λ、、λλ，且满足λ=λλ≠，如果λ对应两个线性无关的1231231特征向量α和α,λ对应一个特征向量α，证明α,,αα线性无关。（10
4、分）1233123⎛⎞001⎜⎟3、设A=111−，x为实数，试讨论x为何值时，矩阵A可与对角阵相似？（15分）⎜⎟⎜⎟2⎝⎠x00线性代数D（即工科36学时）参考解答：一、计算下列各题：0901、解：由－－－＝12190≠，及R（α,,αα）≤3，则知α,,αα即为一极大无关组。1231230611231−Τ21211−Τ2、解：AAA=，A==40，所以：AA=1600。0112−3024⎛⎞x1⎛⎞⎛⎞111⎜⎟111101⎛⎞⎧xx1=−33、解：令⎜⎟⎜⎟⎜⎟x2=0,∼⎜⎟,得⎨，取⎝⎠⎝⎠12
5、1－－⎜⎟12100⎝1⎠⎩x2=0x⎝⎠3Tα=−(1,0,1)即可。⎛⎞111111⎜⎟114、解：f的矩阵A=123，顺序主子式为a=10>，=10>，12310=>，⎜⎟1112⎜⎟⎝⎠136136根据正定性的判定定理知f为正定二次型。⎛⎞a⎛⎞aa⎛⎞⎛⎞a⎜⎟2006⎜⎟⎜⎟⎜⎟5、解：Ab=()111，则Ab=()111b()()111"b111⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠c⎝⎠cc⎝⎠⎝⎠c2006个A⎛⎞aa⎛⎞⎛⎞a⎛⎞aaa⎜⎟⎜⎟⎜⎟2005⎜⎟=bb()111()()11
6、1"b111=()abc++bbb。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠cc⎝⎠⎝⎠c⎝⎠ccc 2005个相()abc++乘二、解答下列各题：21、解：(1)由AA−B=E，得AAB(−)=E，而A1=−≠0,因此矩阵A可逆，且⎛⎞11−−2⎛⎞021−1⎜⎟−1−1⎜⎟A0=11，所以由AA(−=B)E，得A−B=A，故BAA=−=000。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠00−1⎝⎠00022（2）注意42A−−+BBAA2BA＝（＋）22(ABB−BAA＋2)=(2＋BA)(2−B),⎛⎞24
7、1−⎛⎞203−⎛⎞484⎜⎟⎜⎟⎜⎟且(2A＋B)＝022,(2A−B)＝022,(2A＋BAB)(2−)＝040，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠002−⎝⎠002−⎝⎠004⎛⎞484⎛⎞121−−22⎜⎟−11⎜⎟3即CABB=−−+42AA2B=040。再注意C＝010，C=4，⎜⎟4⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠004⎝⎠001⎛⎞121−−*−1⎜⎟则CC==C16010。⎜⎟⎜⎟⎝⎠001⎛⎞011−λ11⎜⎟2、解：（1）A=101−，A的特征多项式为f()1λλλ=−−1=−(1)(2),−+λ⎜⎟⎜⎟⎝
8、⎠110−11−−λ令f()0λ=，得λ==λλ1,=−2，123⎛⎞−111⎛⎞x1⎜⎟⎜⎟对λ==λ1,解线性方程组11−−1xoxxx=⇒−−=0,基础解系为：12⎜⎟⎜⎟2123⎜⎟⎜⎟⎝⎠11−−1⎝⎠x3ΤΤ11ξξ==(1,0,1),(1,1,0)，正交规范化得：ββ==(1,0,1),(1,2,1)−−121226⎛⎞211⎛⎞x1⎜⎟⎜⎟⎧20xxx123++=对λ=−2，解线性方程组121−x
