对logistic迭代方程应用一点讨论

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1、对Logistic迭代方程应用一点讨论摘要：Logistic方程是描述混沌现象的一个重要方程。本文以Euler-Bernoulli梁模型，采用Logistic方程研究了一类四阶微分方程的特征值问题。通过迭代方程对自然频率数值解的讨论，我们发现得到的解的精度很高，符合实际要求。关键词：Logistic方程四阶微分方程特征值混沌是一种极为复杂、貌似无规的运动，是近年来理论物理学中引人注目的新课题。过去，人们一直认为确定性系统和随机系统在本质上是完全不同的，而美国物理学家Feigenbaum创建的混沌学却将这两个系统联系起来。Logistic方程可以描述确定性

2、系统这种从有序到混沌的过程。Logistic方程的表达式为：x■二ux・(1-xB)n=0,1,...»N；xH[0,1](1)式中，u为控制参量。一、问题的提出我们采用Euler-Bernoulli梁模型讨论长为L,半径为R的两端自由的圆形截面梁的自然频率，其控制方程为：EIH+?籽？住・二0(2)其中E,I,?籽，？住分别为弹性模量，惯性矩，密度和截面面积。我们考虑对称模态下自由边界条件下的自然频率，则方程(2)具有下面形式的通解：?棕(x,t)=(Acos?姿x+Bsin?姿x)sin(?棕t+?准)(3)其中？姿■二？棕・，？棕为圆形截面梁的自然

3、频率，A,B为任意常数。进一步将会得到关于自然频率的特征方程：tanH+tanhH=O(4)为了方便起见，采用无量纲变换？棕■二？棕R・，其中G二■为剪切模量，v为泊松比，这样方程(4)变化为：tan.+tanh.=0(5)其中？姿■■二？棕・・，b=L/R,根据通常的取法，v=0,3,b=6,这样自然频率的求解就转化为方程(5)的零点的求解。二、问题的求解及讨论我们求解方程(5)的原理：当Logistic迭代方程中系数u23.57时，系统处于完全混沌状态，混沌变量x■遍历[0,1]区间。我们根据这个原理及统计学原理，当迭代次数很多后，我们可以近似的认为

4、取遍区间上每个局部的代表值，对这些代表值的函数值进行选择处理并控制精度，就能找出方程(5)的近似解。我们用MATLAB编出相关程序如下:(1)u=0.4,x«=0.15迭代次数为100000次运行结果为：19.947912.43336.686219.94846.686319.947819.94780.501119.948319.94780.501119.94810.000019.948219.948119.948419.948119.948112.433019.948319.948219.947912.433119.948319.948019.94791

5、9.948219.9484由于在19.9480附近出现了很多相近的值，这个时候我们可以修改一下程序，提高精度，得到更加准确的值。clc；clear；v二0.3；b二6；二sqrt(2/(1+v))；xl=0.15；al=19；a2=20；n=l；forii二1：5000xl二xl*4*(l~xl)；wl=al+(a2~al)*xl；fl=sqrt(wl*bi*r)；ffl=tan(f1/2)+tanh(f1/2)；error^abs(ff1)；iferror