2、x1∂x2...∂xò在给定随机变量X2取值为x2的情况下，随机变量X1的条件PDF为p(x1
3、x2)=p(x1,x2)/p(x2)（2-3a）∞其中p(x2)=∫p(x1,x2)dx1（2-3b）−∞为X2的边沿概率密度函数，p(x1,x2)为X1和X2的联合PDF。ò复随机变量的CDF和PDF可看成两个随机变量的联合CDF和PDF。2．统计独立的随机变量n个随机变量相互统计独立，则其CDF和PDF分别为F(x1,x2,...,xn)=F(x1).F(x2)...F(xn)（2-4a）p(x1,x2,...,xn)=p(x1).p(x2)...p(
4、xn)（2-4b）13．随机变量的函数设随机变量X的PDF为pX(x),X的函数Y=g(X)的PDF可以由pX(x)求得：ò如果Y=g(X)=aX+b，则Y的PDF为1y−bp(y)=p()（2-5）YXaa2ò如果Y=g(X)=aX+b，则Y的CDF为2FY(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y)=P(
5、X
6、≤(y−b)/a)(2-6a)=FX((y−b)/a)−Fx(−(y−b)/a)将其微分即得到其PDFpX((y−b)/a)pX(−(y−b)/a)pY(y)=+（2-6b）2a(y−b)/a2a(y−b)/aò如果两组n维随机变量存在如下线性
7、关系nYi=∑aijXj其中i=1,2,...,n（2-7a）j=1或表示为矩阵形式Y=AX(2-7b)则Y的PDF为nnn1pY(y1,y2,...yn)=pX(x1=∑b1jyj,x2=∑∑b2jyj,...,xn=bnjynj)（2-8）
8、detA
9、j=1j==11j-1其中{bij}为逆矩阵A的元素。4．随机变量的统计平均ò单个随机变量X，设其PDF为p(x)，那么¢其n阶矩定义为∞nnE(X)=∫xp(x)dx（2-9a）−∞¢其期望值（或称均值）即一阶矩，定义为：∞mx=E(X)=∫xp(x)dx（2-9b）−∞¢其方差，即二阶中心矩定义
10、为：2∞222σx=E[(X−mx)]=∫(x−mx)p(x)dx（2-9c）−∞2222并有关系式σx=E[(X−mx)]=E(X)−mx（2-9d）ò两个随机变量X1和X2，设其联合PDF为p(x1,x2)，那么¢其联合矩定义为∞knknE(X1X2)=∫x1x2p(x1,x2)dx1dx2（2-10a）−∞当k=n=1时，此联合矩称为X1和X2的相关¢其联合中心矩定义为∞knknE[(X1−m1)(X2−m2)]=∫(x1−m1)(x2−m2)p(x1,x2)dx1dx2（2-10b）−∞当k=n=1时，此联合中心矩称为X1和X2的协方差。òn
11、个随机变量X1,X2，…,Xn，设其中两个随机变量Xi和Xj的联合PDF为p(xi,xj)¢那么Xi和Xj的联合矩定义为∞knknE(XiXj)=∫xixjp(xi,xj)dxidxj（2-11a）−∞当k=n=1时，此联合矩称为Xi和Xj的互相关。¢其联合中心矩定义为∞knknE[(Xi−mi)(Xj−mj)]=∫(xi−mi)(xj−mj)p(xi,xj)dxidxj（2-11b）−∞当k=n=1时，此联合中心矩称为Xi和Xj的协方差μij。并有关系式μij＝E(XiXj)−mimj（2-11c）ò随机变量的特征函数¢特征函数定义为∞jvXjvx
12、ψ(jv)≡E(e)=∫ep(x)dx（2-12a）−∞即概率密度函数的傅立叶变换。¢概率密度函数为特征函数的逆傅立叶变换1∞−jvxp(x)=∫eψ(jv)dv（2-12b）2π−∞¢在v=0处计算特征函数的n阶导数，可得到n阶矩3ndψ(jv)n∞njvxE(X)=
13、v=0=(−j)∫xep(x)dx
14、v=0（2-12c）dv−∞2．2一些重要的概率分布1）二项式分布设Y为n个分布相同的二值随机变量之和，即Y=X1+X2+...+Xn，其中PX(1i==),pPX(0==−)1,pin=1,2,...,,则Y为二项式分布，iòY＝k的概率为n!k
15、n−kP(Y=k)=p(1−p)(2-13a)k!(n−k)!ò相应的累积概率分布函数(CDF)为[y]F(
