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1、玉溪师范学院学报(第26卷)2010年第4期JournalofYuxiNormalUniversityVol.26No.4Apr.2010数学研究①关于伯努利集一个重要性质的推广1,21,22白丽艳张玮周建设(1.云南师范大学数学学院,云南昆明650092;2.玉溪师范学院理学院,云南玉溪653100)[关键词]码;伯努利集;指标[摘要]对伯努利集的一个重要性质进行推广,得到了码和完全集上指标的特征.[作者简介]白丽艳,硕士研究生,讲师,主要从事组合半群研究.[中图分类号]O152.7[文献标识码]A[文章编号]1009-95
2、06(2010)04-0015-050预备知识把有限非空集A称为字母表,A中的元素为字母,A上的有限序列w=a1a2⋯an,ai∈A,i=1,2,⋯,n,称为字,其中空序列叫做空字,记为1.w中所含字母的个数称为w的长度,记为
3、w
4、.w中所含字母a的个数记为
5、w
6、a.3+字组成的集合称为语言,由所有字组成的语言记为A,由所有非空字组成的语言记为A.设Card(X)表示语言X中所含字的个数.设u=a1a2⋯am和v=b1b2⋯bn是A上的两个字,定义字的连接运算为:uv=a1a2⋯amb1b2⋯bn,ai,bj∈A,i=1,2,
7、⋯,m,j=1,2,⋯,n.3A按照这种连接运算形成一个幺半群,称为A上的自由幺半群.3设w,x是A上的字,若存在字u∈A,使得x=wu,则称w是x的前缀.对称地,可定义后缀的概念.3若存在字u,v∈A,使得x=uwv,则称w是x的因子.3设XAA,若X中任何字都不是另一个字的前缀,则称X为前缀集.同理定义后缀集的概念.若X既是前缀集,又是后缀集,则称X为双缀集.+设A是一个字母表,XAA,若由x1x2⋯xm=y1y2⋯yn,(其中xi,yj∈X,i=1,2,⋯,m,j=1,2,⋯,n)可得m=n,xi=yi,i=1,2,⋯,
8、n,则称X为A上的码.设X为A上的码,若XAY,且Y为A上的码,则有X=Y,则称X为A上的极大码.33设A是一个字母表,π是一个从A到非负实数集+的同态,满足∑π(a)=1,则称π为A上的一a∈A①基金项目:云南省自然科学基金资助项目,编号:2008ZC162M.15玉溪师范学院学报3个伯努利分布.若任意a∈A,π(a)>0,则称π为正伯努利分布.设XAA,令π(X)=∑π(x),称π(X)x∈X为X关于π的测度.3设XAA,令Xn={w∈X
9、
10、w
11、Fn},则π(X)=supπ(Xn).nE03[1]设X为A上的一个码,若存在
12、A上的一个正的伯努利分布π,使得π(X)=1,则X为极大码.[1]另外,本文未定义的符号和术语都是标准的.1伯努利集在本节中,我们先引入伯努利集的概念,然后讨论伯努利集的一个重要性质.[2]+3定义1设A是一个字母表,XAA,A上所有正的伯努利分布集合记为PBD(A),简记为PBD.若对任意π∈PBD,都有π(X)=1,则称X为A上的伯努利集.[1,2]+定义2设A={a1,a2,⋯,an},XAA,用X=∑x表示X的特征级数,用X表示对应的变x∈X元乘法可交换级数,即iiiX=xi,i,⋯,ia1a2⋯an,∑12n12ni
13、,i,⋯,i∈12n其中xi,i,⋯,i表示X中a1出现i1次,a2出现i2次,⋯,an出现in次的字的个数,称为此项的系数.这里12nx0,0,⋯,0=0.若X为有限集,则X为多项式,用deg(X)表示它的次数.[2]+命题设字母表A={a,b},XAA是一个有限集,则X为A上的伯努利集当且仅当a+b-1整除多项式X-1,即X-1=P(a+b-1),其中P是[a,b]上的多项式.[3]+推广设字母表A={a1,a2,⋯,an},XAA是一个有限集,则X为A上的伯努利集当且仅当a1+a2+⋯+an-1整除多项式X-1,即X-1
14、=P(a1+a2+⋯+an-1),其中P是[a1,a2,⋯,an]上的多项式.例1设A={a,b,c,d},X={aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,d},是伯努利集,也是极大码.它对应的变元乘法可交换级数为222X=a+b+c+d+2ab+2ac+ad+2bc+bd+cd,222且有X-1=a+b+c+d+2ab+2ac+ad+2bc+bd+cd-1=(a+b+c+d-1)(a+b+c+1).+定义3设A是一个字母表,XAA,对任意π∈PBD,令Λ(X,π)=π(X),映射Λ由X和实数π(
15、a),a∈A决定,其中π(a)在条件∑π(a)=1下的取值为开区间(0,1).称这样的a∈A映射Λ为测度映射(或测度函数).[2]+引理设A是一个字母表,XAA是一个有限伯努利集,则对任意字母a∈A,存在惟一指标ka,k使得aa∈X.16白丽艳张玮周建设:关于伯努利集一个重要
