[工程科技]面对高考题目开放_思维放开

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1、董恒甫论文集2005/5蒲汇塘校区题目开放,思维放开——开放型数学问题严顺良一、题型简介数学开放题是上世纪七十年代开始出现的一种新题型，自它出现以后发展很快，涉及的面也越来越广，尤其是在近几年的高考中经常出现，因此必须引起我们的高度重视。那么为什么称它为开放题呢？所谓的开放是相对于传统的在一定的条件下，通过一定的计算，从而得出相对确定的结论的封闭题而言的。我们知道一般数学题有三部分组成，即题目的条件、运算过程、结论。数学开放题的基本特征是题目的条件不完备，或者是结论不确定，或者解决问题的思路灵活多样

2、。因此它有三种类型：1.条件开放题2.结论开放题3.策略开放题。二、近年相关高考考题举例例1：若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项为a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=_______。（2003年上海高考数学卷，第8题）解：满足题设条件的等比数列有两点要求（1）各项和存在,此时

3、q

4、<1(2)正数数列,此时a1>0、q>0综上应取a1>0、0

5、数列，答案可以是什么？1111如数列：、、122334nn1例2：若函数f(x)=a

6、x-b

7、+2在[0,+∞]上为增函数，则实数a、b的取值可以_______。（2004年上海高考数学卷，第10题）解：用数形结合的方法把函数f(x)=a

8、x-b

9、+2看作函数f(x)=a

10、x

11、经平移以后得到，显然要符合题目条件在[0,+∞]上为增函数，可取a>0且b≤0的任意数，比如答案：a=1,b=-1。三、不同类型开放题举例例3：试构造一个定义域为[-1，1]，值域为[-2，5]的偶函数。（结论开

12、放题）解：先构造函数图像再写出解析式。答案可以是1.一次函数y=7

13、x

14、-2（-1≤x≤1）22.二次函数y=7x-2（-1≤x≤1）112223.高次函数y=(x-1/4)-2（-1≤x≤1）914.三角函数y=7cosπx+3（-1≤x≤1）22对于结论开放的数学问题,实质上就是在给定的条件下可导出数学命题的多种结果,为此要求我们进行发散性思维,考虑各种可能的情况做出回答。例4：试写出至少5个解集为（-2，3）的不等式。(条件开放题)解：答案可以是21.一元二次不等式x-x-6<0x22.分式不

15、等式<0x33.不等式组x+2>0x-3<0x2-x-64.指数不等式2<025.对数不等式log2(-x+x+7)>0226.高次不等式(x-4)(x-x-6)<07.含绝对值不等式

16、x-1

17、<522118.无理不等式x25对于条件开放的数学问题实质就是从数学命题的结论去探究满足结论的命题的条件,但这样的条件并不唯一，这就要求我们从多种不同的角度去联想、思考。也可以反向思考，即将结论当作条件，去寻找结果，再把这个结果当作条件，判断命题是否成立。例5：某地区有4个工厂A、B、C、D恰好坐落在边长

18、为2千米的正方形顶点上,区政府决定建立一个使得任何两个工厂都有通道的道路网,请合理设计一个道路网,使它的总长度不超过5.5千米。（策略开放题）解：1.沿正方形ABCDA修建道路网,总长度是8千米>5.5千米,不符合要求。2.连接两条对角线AC、BD修建道路网，总长度是42千米>5.5千米，不符合要求。3.在正方形ABCD所在平面上任取一点P,连接PA、PB、PC、PD,得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=42千米>5.5千米,不符合要求。4.要减少总长度必须增加公共部分,如图过O作EF⊥AB，AB设

19、:OE=OF=x(0≤x≤1)o2道路网总长度y=41(1x)+2x≤5.5CD17得48x2-40x+7≤0,解得x∈〔,〕412求上述方法最短道路网，即y的最小值设：1-x=tgθ，0≤θ≤π/4则:y=2(1-tgθ)+4secθ=2+2(2-sinθ)/cosθ由此问题转化为两点(-cosθ,sinθ)与(0,2)连线斜率的最小值,ymin=2(1+3)km217此时x=(3-3)/3∈〔,〕412对于策略开放的数学问题,实质上是推理的方法具有开放性,为此我们应根据数学问题提供的信息，包括

20、条件、结论、问题的实际背景等多方面，通过多种途径去解决问题。四、总结解决开放性问题必须发挥主观能动性,主动参与思维,敢于联想、类比、推广、进行特殊到一般的思维,提高发现问题和分析问题的能力,才能适应此类问题。即所谓题目开放,思维放开。开放题既有培养学生发散性思维的作用，又能培养学生的创造性思维，同时，它还能激发学生强烈的求知欲和探索未知的热情，因此，它越来越受到重视，开放题将成为课堂教学和考试考查的一个重要内容。五、练习：1.设四面体的各棱长是1或2,且