一元二次方程地根地判别式

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1、实用标准一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。上述性质反过

2、来也成立。2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。精彩文档实用标准二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8x+3=0(3)(－)x2－x+=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－

3、1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根　　(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根　　(3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根　　(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16　=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根精彩文档实用标准(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方

4、程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。②应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求⊿=b2－4ac。③当⊿=b2－4ac≥0时，方程有实数根，反之也成立。例2已知关于x的方程x2－(m－2)x+m2=0(1)有两个不相等

5、实根，求m的范围.精彩文档实用标准(2)有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根.(3)有实根，求m的最大整数值.解：⊿=b2－4ac=[－(m－2)[2－4××m2=－4m+4(1)⊿=－4m+4＞0时方程有两个不相等的实根，解得m＜1∴当m＜1时方程有两个不相等实根(2)方程有两个相等实根，∴⊿=b2－4ac=0∴－4m+4=0解得m=1∴当m=1时方程有两个相等实根为x1=x2=－=－=－2(3)∵方程有实根，∴⊿=b2－4ac≥0∴－4m+4≥0解得m≤1，其最大整数值为1，∴方程有实根m的最大整数值为1。说明：含有字母系数的一元二次方程根

6、的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由⊿的不同情况求得。精彩文档实用标准例3已知m为非负整数，且关于x的方程m(x－1)2+3x+2=2x2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。分析，首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。因为已知方程有两个实数根，所以⊿=b2－4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。解：整理原方程，得:(m－2)x2－(2m－3)x+(m+2)=0∵方程有两个实数根，⊿=b2－4ac≥0∴解得m≤且m≠2。∵m是非负整数。∴m=0或m=1。当m=0时，原方程为

7、2x2－3x－2=0解这个方程得:x1=2，x2=－。当m=1时，原方程为x2－x－3=0。解这个方程，得:x=精彩文档实用标准x1=，x2=。例4证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。分析：要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。证明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。∴⊿=(a+c)2－4ac=(a－c)2。∵(a－c)2≥0∴⊿=b2－4ac≥0。∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。例5已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，求证:方程x2+n

8、x+2n－1=0必有两个不相等的实数根。分析：由已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到一个关于n的