集合常见错误分析

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1、集合问题中常见错误分析朝阳区丁益祥特级教师工作室周明芝解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．1.注意集合中元素的含义集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．例1.设，，则___________．错解：由方程组解得：　故．错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A、B中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故．2.注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复

2、的，忽视互异性会引出错解．例2．已知集合，集合，如果，求的值．错解：若，即，则或；若，即，则．综上，所求的值为-1，1，2．错因分析：当时，A中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此应舍去，所以满足题意的值为-1，2．3.注意的特殊性是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．例3.已知集合，若，求由实数组成的集合C．错解：因为，所以，即，所以．错因分析：导致错误的原因是漏掉的情形，当时，亦满足条件，可得．4.注意取等的可能性例4.已知，，且，求实数的取值范围．分析：由已

3、知得：，，由得，又，知，故有解得．注：不要忽略的情况．5.注意参数范围的等价性当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检验，否则会发生错解．例5.已知集合，且，求实数的值．错解：由，知，即．错因分析：当时，，此时矛盾，应舍去．6.注意分类讨论的重要性例6.已知集合，若，且，求实数和的值．分析：因为，故，又，故B中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：7.注意条件隐含性例7.全集，，，求实数的值．错解：因为，所以，从而．解得：．错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S是全集，所以．当，符合题意；当时，，不

4、符合题意，故．注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）．高考集合问题常见类型解析湖南省黄爱民赵长春集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题，对其常见类型加以分类解析，供参考。一、概念运算型例1、（2005年全国卷Ⅰ）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是()（A）（B）（C）（D）解析：只要作出如图一所示的韦恩图，不难发现正确答案为C。例2、（2005年上海卷）已知集合，，则等于（）A．BCD．解析：通过解不等式化简集合，，从而易知正确答案为B。评析：集合概念

5、关系题主要考查集合的基本概念和基本运算，常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等。二、知识结合型例3、（2000年全国高考题）设集合A和B都是自然数N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）(A)2(B)3(C)4(D)5解析：本题是映射与集合的综合题，由题意知是求关于n的方程2n+n=20的解，由选支的数字较小，可试算：24＋4=20，故有n=4，而选(C).例4、（2002上海春，3）若全集I=R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x

6、f（x）＜0}，Q={x

7、

8、g（x）≥0}，则不等式的解集可用P、Q表示为_____.解析：本题考查用集合语言表示不等式组的解集。可用集合的交集、补集表示。答案为：。评析：这类题型主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识结合，形成多知识点的综合问题，解题的关键在于灵活运用有关知识.三、组合计数型例5（2000年广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A.15B.16C.3D.4解析：(公式法)当集合内含n个元素时，它有2n用寿命-1个子集，故有24-1=15，选A.例6、(1999年全国高考题)已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2

9、，－1，1，2，3，4}，集合B的元素都是A中元素在f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是│a│，则集合B中元素的个数是()(A)4(B)3(C)6(D)7解析：本题题意叙述虽长,但转换成图表语言,则易得4个，知选(A).评析：这类题型是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等.常用解法是（真）子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等。四、定义创新题例7、（2005年湖北卷）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是（）A．9B．8C．7D．6解：由P+Q=的定义，分别从P、Q中任取一个元素各有3种

10、方法，但“0+6=1+5”考虑到集合元素的互异性。故P+Q中元素的个数为：。从而选B。评析：抓住定义、揭示定义本质是解决这类问题的关键。五、结论开放型