空间中的垂直关系习题课

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1、安丘一中高一数学上学期导学案课题空间中的垂直关系课型习题课课时2时间第5周主备人崔玉娟教研组长张宗田包组领导韩永杰编号10教学目标1．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用教学内容教学设计课前预习案预习提纲：1．证明线线垂直常用的方法：2．证明线面垂直常用的方法：3．证明面面垂直常用的方法：课堂探究案例1．如图所示，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB，交SB于E，过点E作EF⊥SC，交SC于F.求证：AF⊥SC.[解析]　∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∵A

2、B⊥BC.又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.变式训练1：如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证BD⊥AC.[解析]　取BD的中点E，连结AE、CE，∵AB＝AD，∴AE⊥BD，又∵CB＝CD，∴CE⊥BD，AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC.思考：例2．如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC7两两垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC.[解析]　∵H是△A

3、BC的垂心，∴AH⊥BC.∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.又AH∩PA＝A，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PH.同理AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.变式训练2：若AB，AC，AD两两垂直，AB＝5，AC＝4，AD＝3，则三棱锥A－BDC的体积为________．[答案]　10例3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：平面PAC⊥平面BDD1.[解析]　∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又

4、DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.变式训练3：如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC于点A，AD⊥BC于点D，求证：平面PBC⊥平面PAD.[解析]　∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AD⊥BC，PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD.规律方法当堂达标：1．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有(　　)A．0条　　　B．1条　　　C．2条　　　D．无数条[答案]　A7[解析]　假设平面α内存在一条直

5、线l⊥β，则α⊥β，这与α与β不垂直矛盾，故平面α内不存在能与平面β垂直的直线．2．给出下列四个命题：①若直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；③若直线l⊥平面α，则存在a⊂α，使l∥a；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.其中正确命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4[答案]　A[解析]　当l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l不一定与α垂直，①错误；当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时，α，β可能垂直，也可能不垂直，②错误；根据直线与平面垂直的定义，知直线l⊥平面α时，

6、l与α内的所有直线都垂直，不可能存在直线与l平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选A.3．直线a和平面α内两条直线b、c都垂直，给出下列说法，正确的说法是(　　)①a∥α可能成立；②a⊥α；③平面α可能经过a；④a有可能与平面α相交．A．①②③④　　B．③④　　C．①②④　　D．①③④[答案]　D[解析]　如图所示，a∥α，b⊂α，c⊂α，a⊥b，a⊥c，故①正确，②不正确，故选D.4．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是(　　)A．平行四边形B．长方形

7、C．菱形D．正方形[答案]　D[解析]　如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF綊AC，HG綊AC，∴四边形EFGH是平行四边形，又EH＝BD，BD＝AC，∴EH＝EF，∴四边形EFGH是菱形．取BD中点M，连结AM、CM，∵AB＝AD，∴AM⊥BD，又CB＝CD，∴CM⊥BD，又AM∩CM＝M，∴BD⊥平面ACM，∴BD⊥AC.7又EF∥AC，BD∥EH，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．5．α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则(　　)A．α∥β且γ∥ωB．α∥β或γ∥ωC．这四个平面中可能任意两