2018年浙江省宁波市中考真题数学

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2018年浙江省宁波市中考真题数学一、选择题(每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.在-3，-1，0，1这四个数中，最小的数是()A.-3B.-1C.0D.1解析：由正数大于零，零大于负数，得-3＜-1＜0＜1，最小的数是-3.答案：A2.2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为()A.0.55×106B.5.5×105C.5.5×104D.55×104解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.550000=5.5×105.答案：B3.下列计算正确的是()A.a3+a3=2a3B.a3·a2=a6C.a6÷a2=a3D.(a3)2=a5解析：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3·a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵(a3)2=a6，∴选项D不符合题意.答案：A4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为()A.B.C. D.解析：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为.答案：C5.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为()A.6B.7C.8D.9解析：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9.答案：D6.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是()A.主视图B.左视图C.俯视图D.主视图和左视图解析：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形.答案：C7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为()A.50°B.40°C.30°D.20°解析：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°-60°-80°=40°， ∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°.答案：B8.若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为()A.7B.5C.4D.3解析：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴=4，解得：x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4.答案：C9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为()A.πB.πC.πD.π解析：∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2，∴的长为.答案：C10.如图，平行于x轴的直线与函数y=(k1＞0，x＞0)，y=(k2＞0，x＞0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为() A.8B.-8C.4D.-4解析：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同.设A(a，h)，B(b，h)，则ah=k1，bh=k2.∵S△ABC=，∴k1-k2=8.答案：A11.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1，则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是()A.B.C. D.解析：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=-1时，y=a-b＜0，∴y=(a-b)x+b的图象在第二、三、四象限.答案：D12.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD-AB=2时，S2-S1的值为()A.2aB.2bC.2a-2bD.-2b解析：S1=(AB-a)·a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)·a+(AB-b)(AD-a)，S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)，∴S2-S1=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)·a-(AB-b)(AD-a)=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)=b·AD-ab-b·AB+ab=b(AD-AB)=2b.答案：B二、填空题(每小题4分，共24分)13.计算：|-2018|=.解析：|-2018|=2018.答案：201814.要使分式有意义，x的取值应满足.解析：要使分式有意义，则：x-1≠0.解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1.答案：x≠115.已知x，y满足方程组则x2-4y2的值为. 解析：原式=(x+2y)(x-2y)=-3×5=-15.答案：-1516.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米(结果保留根号).解析：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°，在Rt△ACH中，∴∠CAH=45°，∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=，∴(米).∴米.答案：17.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为.解析：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m. 在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+(8-x)2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3.如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB=.综上所述，BP的长为3或4.答案：3或418.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD=90°，则cosB的值为.解析：延长DM交CB的延长线于点H. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2，∴22-x2=(2+x)2-22，∴x=-1或--1(舍弃)，∴cosB=.答案：三、解答题（本大题有8小题，共78分）19.先化简，再求值：(x-1)2+x(3-x)，其中x=-.解析：首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可.答案：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1，当x=-时，原式=-.20.在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；(2)在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点.解析：(1)将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；(2)利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC.答案：(1)如图所示，线段BD即为所求；(2)如图所示，线段BE即为所求. 21.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：(1)求本次调查的学生人数；(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；(3)若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数.解析：(1)由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；(2)先计算出C在扇形图中的百分比，用1-[(A+D+C)在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角.(3)总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求.答案：(1)由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%，所以：20÷10%=20×=200(人)，即本次调查的学生人数为200人；(2)由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%=30%，B级所占的百分比为：1-10%-30%-45%=15%，B级的人数为200×15%=30(人)，D级的人数为：200×45%=90(人)，B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°.(3)因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360(人) 答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人.22.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点(1，0)，(0，).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=-x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.解析：(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；(2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可.答案：(1)把(1，0)，(0，)代入抛物线解析式得：解得：则抛物线解析式为；(2)抛物线解析式为y=-(x+1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=-x2.23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数.解析：(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数.答案：(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由(1)可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°. 24.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同.(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？解析：(1)设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元.根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元.购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；(2)设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式.答案：(1)设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元.根据题意，得，，解得x=40.经检验，x=40是原方程的解.答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；(2)甲乙两种商品的销售量为=50.设甲种商品按原销售单价销售a件，则(60-40)a+(60×0.7-40)(50-a)+(88-48)×50≥2460，解得a≥20.答：甲种商品按原销售单价至少销售20件.25.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC.求证：△ABC是比例三角形.(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC=90°时，求的值.解析：(1)根据比例三角形的定义分AB2=BC·AC、BC2=AB·AC、AC2=AB·BC三种情况分别代入计算可得；(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；(3)作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB·BC=BH·DB，即AB·BC=BD2，结合AB·BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案.答案：(1)∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3， ①当AB2=BC·AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB·AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB·BC时，得：AC=6，解得：AC=6(负值舍去)；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；(2)∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴，即CA2=BC·AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC·AB，∴△ABC是比例三角形；(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴，即AB·BC=BH·DB，∴AB·BC=BD2，又∵AB·BC=AC2，∴26.如图1，直线l：y=-x+b与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点(0＜AC＜).以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；(2)如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值. 解析：(1)利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；(2)①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；(3)利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论.答案：(1)∵直线l：y=-x+b与x轴交于点A(4，0)，∴-×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=-x+3，∴B(0，3)，∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO=；(2)①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4-4m，AE=5m，∴E(4-4m，3m)，AC=5m，∴OC=4-5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA·OC=4(4-5m)=16-20m，∵E(4-4m，3m)，∴(4-4m)2+9m2=25m2-32m+16，∴25m2-32m+16=16-20m，∴m=0(舍)或m=，∴，∴().(3)如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴，∴OG=，∴AG=，∴EG=AG-AE=-r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE·EF=HE·EG=2r，∴r=时，OE·EF最大值为.