2016年各区二模《圆》汇总

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1、2016年各区二模《圆》汇总1.（西城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=22，tan∠ADC=3，求CD的长．（1）证明：连接OA，OB，如图1．∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°．……………1分∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°．∵∠BAE=45°，∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°．∴OA⊥AE．∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．………………………………………………………2分（2）解：过点A作AF⊥CD于点F，如

2、图2．∵AB=AD，∴=．∴∠ACB=∠ACD=45°．…………………3分∵AF⊥CD于点F，∴∠AFC=∠AFD=90°．∵AC=22，图2∴在Rt△AFC中，AF=CF=AC·sin∠ACF=2．……………………………4分AF∵在Rt△AFD中，tanD3，DF2∴DF=．38∴CD=CF+DF=．…………………………………………………………5分32.（通州）如图：ΔABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.（1）求证：CD=CB；CO（2）如果⊙O的半径为2，求AC的长.（1）证明：连结OB.

3、ABD»»∵ABAB，∠ACB＝45°，∴AOB2ACB90，…………………1分；∵OA=OB，∴OABOBA45∵∠AOC=150°，∴COB60∵OC=OB，∴△OCB是等边三角形，…………………2分；∴OCBOBC60，∴CBD75，∵CD是⊙O的切线，∴OCDOCBBCD90，∴BCD30，∴DCBD75，∴CD=CB.…………………3分；（2）解：过点B作BE⊥AC于点E，∵△OCB是等边三角形，∴BCOC2，∵∠ACB＝45°，∴CEBE1，…………………4分；∵B»CB

4、»C，∠BOC＝60°，1∴EABBOC30，2BE∴tanEAB，AE31∴，3AE∴AE3，∴ACAECE31，…………………5分；3.（昌平）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，ACB2BAE.（1）求证：AC是⊙O的切线；2（2）若sinB，BD=5，求BF的长.3连接AD.∵E是弧BD的中点，∴弧BE=弧ED，∴∠1=∠2.∴∠BAD=2∠1.∵∠ACB=2∠1,∴∠C=∠BAD.……………………………………………………………1分∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠A

5、DC=90°.∴∠DAC+∠C=90°.∵∠C=∠BAD，∴∠DAC+∠BAD=90°.∴∠BAC=90°.即AB⊥AC.又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线.……………………………………2分（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.AD2在Rt△ABD中，∠ADB=90°，sinB，AB3设AD=2m，则AB=3m，利用勾股定理求得BD=5m.∵BD=5，∴m=5.∴AD=25,AB=35.………………………3分∵∠1=∠2,∠ADB=90°，∴FG=FD.…………………………………4分设BF=x,则FG=FD=5-x.2在Rt△BGF中，∠BGF=90°，sin

6、B，35x2∴.x3解得，x=3.∴BF=3.……………………………………………5分⌒4.（丰台）如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为BC的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE．D（1）求证：AD为⊙O的切线；C3E（2）若cosD=，AD=6，求FG的长．F5ABOG证明：连接AC.∵AB是O的直径∴ACB90.∴CABB90.∵E为BC的中点,∴CAEEAB.∴CAB2EAB.∵∠D=2∠BAE,∴CABD.-------1分∴BD90.∴DAB90

7、.即ABAD.又∵AB是直径,∴AD是O的切线.-------2分（2）∵在Rt△ACD中,DCDC3EcosD，AD6,FAD518DC.-------3分5AOGB∵在Rt△ABD中,AD3cosD，AD6,BD5∴BD10.∵CAFEAB,ACB90,FG⊥AB，∴CFFG.-------4分设CFFGx.∵FG⊥AB，∴GFBD.FG3∴cosGFB.FB55∴FBx.3∵DCCFFB10.185∴xx10.531212解得x.∴FG.-------5分555.（海淀）如图，在△ABC