2017-2018学年北京师大附中高一下学期期中考试数学试卷

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1、2017-2018学年北京师大附中高一下学期期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在△ABC中，D是边BC的中点，则＝A.B.C.D.2.在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝150°，则△ABC的面积为A.3B.C.6D.3.下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A.60B.55C.45D.504.已

2、知点A（1，2），B（3，7），向量∥a，则A.，且与a方向相同B.，且与a方向相同C.，且与a方向相反D.，且与a方向相反5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为。若，则角B的大小为A.B.C.或D.或6.已知在△ABC中，，则＝A.B.C.D.7.抛掷两颗骰子，点数之积为大于15的偶数的概率是A.B.C.D.8.从高一年级随机选取100名学生，对他们的期末考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示。若用分别表示这100名学生语文，数学成绩的及格率，用分别表示这100名学生语文、数学成绩的方差，则下

3、列结论正确的是A.B.C.D.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。9.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为，且，则C＝_______。10.下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为_________，方差为________。11.已知正方形ABCD的边长为1，设，则＝_______。12.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是__________。13.

4、设向量，则满足a、b的夹角为的一个向量b的坐标可以是_______。14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，∠，设∠AOB＝，则OA＝__________（用表示）；若，则＝________。三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，设。（Ⅰ）若，求b的值；（Ⅱ）求tanC的值。16.已知向量。（Ⅰ）若a⊥，求实数t的值；（Ⅱ）若向量，且，求的最小值。17.某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身

5、高数据进行整理，得到下侧的频率分布表。组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组0.35第3组0.3第4组0.2第5组0.1合计1.00（Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率；（Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由。18.已知在锐角△ABC中

6、，（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值。19.设向量（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）设函数，求的最值。20.已知集合…，…，，对于…，，B＝（…，，定义A与B的差为…，A与B之间的距离为。（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）证明：对任意，有（i），且；（ii）三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）对于……，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）。【试题答案】一、选择题题号12345678答案CADDCBAC二、填空题9.；10.91，4.7；11.212.；13.14.；。三、解答题15.（Ⅰ

7、）解：因为，由正弦定理，得。由余弦定理及，得，所以，解得。（Ⅱ）解：由，得，所以，即，所以，所以。16.（Ⅰ）－1；（Ⅱ）。17.解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：第3组：＝3人；第4组：＝2人；第5组：＝1人。所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人。（Ⅱ）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），

8、（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）。共有15种。其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C