解题方法：数学归纳法(无答案)

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1、数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法：第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立。这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般。完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。Ⅰ、再现性题组：1.用数学归纳法证明(n＋1)(n

2、＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋13.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时

3、a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。A.3n－2B.nC.3D.4n－35.用数学归纳法证明3＋5(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。3Ⅱ、示范性题组：例1.已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。例2.设a＝＋＋…＋(n∈N),证明：n(n＋1)

4、是等差数列。（94年全国文）Ⅲ、巩固性题组：1.用数学归纳法证明：6＋1(n∈N)能被7整除。2.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)(n∈N)。3.n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。4.用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝(81年全国高考)5.用数学归纳法证明：

5、sinnx

6、≤n

7、sinx

8、（n∈N）。（85年广东高考）6.数列{a}的通项公式a＝(n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。7.已知数列{a}满足a＝

9、1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]，(x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a和a；②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。8.设f(logx)＝,①.求f(x)的定义域；②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。③.求证：f(n)>n(n>1且n∈N)3