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1、难点31数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳
2、法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②设n=k时成立，
3、即则当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=
4、－应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk
5、－1=0∴Sk=(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)由①②知，an=对一切n∈N成立.(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项
6、与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.
7、三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：.7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.8.(★★★★★)设实数q满足
8、q
9、＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,
10、求an表达式，又如果S2n＜3,求q的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk=(3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)=［3(
