2015届高考理科数学第一轮总复习教案31

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1、§3.3　导数的综合应用1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．1．判断下面结论是否正确(请

2、在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值．(　√　)(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(　√　)(3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1.(　×　)(4)函数f(x)＝x2lnx没有最值．(　×　)(5)已知x∈(0，)，则sinx>x.(　×　)(6)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．(　×　)2．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)A．∀x∈R，f(x)≤f

3、(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案　D解析　A错，因为极大值未必是最大值．B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．D对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当

4、MN

5、达到最小时t的

6、值为(　　)A．1B.C.D.答案　D解析　

7、MN

8、的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．答案　(－2,2)解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．5．若f(x)＝，0

9、f(b)的大小关系为________．答案　f(a)0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上为增函数，又∵00.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．思维启迪　(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x

10、0)＝g′(x0)可得a，b的关系；(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值．(1)解　设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)．于是当t(1－3lnt)>0，即00；当t(1－3lnt)<0，即t>e时，h′(t)<0.故

11、h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，即b的最大值为e.(2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)．故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．思维升华　利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；

12、(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．　当0x＋.证明　设f(x)＝tanx－，则f′(x)＝－1－x2＝tan2x－x2＝(tan