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时间:2019-03-04
《2015届高考理科数学第一轮总复习教案31》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§3.3 导数的综合应用1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.2.不等式问题(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.1.判断下面结论是否正确(请
2、在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值.( √ )(2)函数f(x)=x2-3x+2的极小值也是最小值.( √ )(3)函数f(x)=+x-1和g(x)=-x-1都是在x=0时取得最小值-1.( × )(4)函数f(x)=x2lnx没有最值.( × )(5)已知x∈(0,),则sinx>x.( × )(6)若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上没有实数根.( × )2.(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≤f
3、(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案 D解析 A错,因为极大值未必是最大值.B错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点.C错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点.D对,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当
4、MN
5、达到最小时t的
6、值为( )A.1B.C.D.答案 D解析
7、MN
8、的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.4.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.答案 (-2,2)解析 由于函数f(x)是连续的,故只需要两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)·f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).5.若f(x)=,09、f(b)的大小关系为________.答案 f(a)0,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,e)上为增函数,又∵00.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).思维启迪 (1)设公共点为(x0,y0),则f(x0)=g(x0)且f′(x10、0)=g′(x0)可得a,b的关系;(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的最值.(1)解 设两曲线的公共点为(x0,y0),f′(x)=x+2a,g′(x)=,由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),即由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.令h(t)=t2-3t2lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt).于是当t(1-3lnt)>0,即00;当t(1-3lnt)<0,即t>e时,h′(t)<0.故11、h(t)在(0,e)上为增函数,在(e,+∞)上为减函数,于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(e)=e,即b的最大值为e.(2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0),则F′(x)=x+2a-=(x>0).故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x>0时,f(x)≥g(x).思维升华 利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数,并求其单调区间;12、(2)判断区间端点函数值与0的关系;(3)判断定义域内函数值与0的大小关系,证不等式. 当0x+.证明 设f(x)=tanx-,则f′(x)=-1-x2=tan2x-x2=(tan
9、f(b)的大小关系为________.答案 f(a)0,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,e)上为增函数,又∵00.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).思维启迪 (1)设公共点为(x0,y0),则f(x0)=g(x0)且f′(x
10、0)=g′(x0)可得a,b的关系;(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的最值.(1)解 设两曲线的公共点为(x0,y0),f′(x)=x+2a,g′(x)=,由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),即由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.令h(t)=t2-3t2lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt).于是当t(1-3lnt)>0,即00;当t(1-3lnt)<0,即t>e时,h′(t)<0.故
11、h(t)在(0,e)上为增函数,在(e,+∞)上为减函数,于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(e)=e,即b的最大值为e.(2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0),则F′(x)=x+2a-=(x>0).故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x>0时,f(x)≥g(x).思维升华 利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数,并求其单调区间;
12、(2)判断区间端点函数值与0的关系;(3)判断定义域内函数值与0的大小关系,证不等式. 当0x+.证明 设f(x)=tanx-,则f′(x)=-1-x2=tan2x-x2=(tan
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