初等数论教学大纲

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1、《初等数论》课程教学大纲课程编号：总学时：36总学分：2开课学期：第6学期适用专业小学教育（理）一、课程性质、目的与任务本课程是针对小学教育（理）专业在第六学期开设的专业选修课，通过这门课的学习，使学生可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程，并通过掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，可以他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。二、课程教学的基本要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。三、课程的主要内容、重点和难点一、整数的整除性理论（一）教

2、学内容1、整除性、公因数、公倍数：两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。2、素数与整数的素因子分解：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。3、函数[x]、{x}及其应用：函数[x]与{x}的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质。4、抽屉原理：抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。重点：整除、公因子、素数的概念及性质，剩余定理，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。难点：函数[x]、{x}的概念及其应用。（二）教学基本要求1、理解整数整除、公

3、因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。二、不定方程（一）教学内容1、二元一次不定方程：二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。2、多元一次不定方程：多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的

4、解。3、不定方程：不定方程整数解的形式，Fermat大定理的简单介绍。重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。（二）教学基本要求1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。3、知道不定方程整数解的形式.三、一元同余理论（一）教学内容1、同余的概念及性质:　整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。2、剩余系、完全剩余系:剩余系、

5、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法，欧拉函数的定义及性质。3、欧拉定理及其应用:欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件。4、一次同余式:同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。5、中国剩余定理:中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。6、高次同余式:判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同余式的关系，求解简单的（3、4次）同余式。7、素数模的高次同余式:素数模同余式的次数化简，Wilson定理，同余式的次数与解数的关系，n次同余式有n个解的条件。重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，求解三次以下的同余式。　　难点：剩余系

6、的判定，中国剩余定理，模整数同余式与模素数同余式的关系。（一）教学基本要求1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。3、了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握循环小数的判定方法。4、理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。5、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。6、了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3

7、、4次）同余式解的方法。7、了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理，了解同余式的次数与解的个数的关系，知道n次同余式有n个解的条件。四、学时分配序号内容（标题）学时安排小计理论课时实验课时习题课时上机课时1整除概念、带余除法、辗转相除法、最大公因数662算术基本定理函数、[x]、{x}及其应用443抽屉原理444二元一次不定方程115多元一次不定方程116勾股数、Fermat大定理的简单介绍