前三章课后习题答案

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1、《固体物理学》部分习题解答1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。解由倒格子定义体心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为体心立方格子1.4证明倒格子原胞的体积为，其中为正格子原胞体积证倒格子基矢倒格子体积1.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。证：容易证明与晶面系正交。1.6如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证简单正交系倒格子基矢倒格子矢量晶面族的面间距面指数越简单的

2、晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解(111)面与(100)面的交线的AB－AB平移，A与O重合。B点位矢（111）与（100）面的交线的晶向——晶向指数(111)面与(110)面的交线的AB——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢(111)面与(110)面的交线的晶向――晶向指数2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这

3、样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为当X=1时，有2.3若一晶体的相互作用能可以表示为求1）平衡间距2）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4）若取，计算值。解1）晶体内能平衡条件2)单个原子的结合能3)体弹性模量晶体的体积——A为常数，N为原胞数目晶体内能体弹性模量由平衡条件体弹性模量（）4）2.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中

4、的结合能之比值．解2.7．对于，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：因此，计算得到的晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．3.1．

5、已知一维单原子链，其中第个格波，在第个格点引起的位移为，，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）由于数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以由于是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为（2）已知较高温度下的每个格波的能量为kT，的动能时间平均值为其中L是原子链的长度，使质量密度，为周期。所以（3）因此将此式代入（2）式有所以每个原子的平均位移为3.2讨论N个原胞的

6、一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应解质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛顿运动方程——体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解A,B有非零解——两种不同的格波的色散关系对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波——总的格波数目为2NM=m长波极限情况下与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3．考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c和10c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为．求在和处的．大略地画出色散关系．

7、本题模拟双原子分子晶体，如。＜解＞a/2C10c，将代入上式有是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为=0，解出当K=0时，当K=时与的关系如下图所示．这是一个双原子(例如)晶体3.6计算一维单原子链的频率分布函数解设单原子链长度波矢取值每个波矢的宽度状态密度dq间隔内的状态数——对应取值相同，间隔内的状态数目一维单原子链色散关系令两边微分得到代入一维单原子链的频率分布函数3.7．设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有求证：频率分布函数为;.解依据，并带入上边结果有所以3.8．有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，

8、并论述在低温极限比热正比于。证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积，且则3.9．写出量子谐振子系统的自由