第6讲离散型随机变量的分布列

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1、第6讲离散型随机变量的分布列一、选择题1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)A．X＝4　　　　　　　B．X＝5C．X＝6D．X≤5解析事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.答案C2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于(　　)．A.B.C.D.解析　∵＋＋＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝＝.答案　C3．若随机变量X的概率分布列为Xx1x2Pp1p2且p1＝p2，则p1等于(　　)．A.B.C.D

2、.解析　由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝.答案　B4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2

3、0.09解析P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.答案A二、填空题7．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a＝________.ξ4a9P0.50.1b解析　由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案　78．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P

4、(X＝1)＝＋＝.答案9．设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(

5、X－3

6、＝1)＝________.解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(

7、X－3

8、＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.答案　10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X＝1时，甲抢到1题且答对或甲

9、抢到3题，且一错两对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．答案　－1,0,1,2,3三、解答题11．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列．解(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝，解得p＝或p＝(舍去)，所以乙投球的命中率为.(2)由题设和(1)知P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.ξ可能的取值为0,1,2,3，故P(ξ＝0)＝P()P()＝

10、×2＝，P(ξ＝1)＝P(A)P()＋CP(B)P()P()＝×2＋2×××＝，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝，P(ξ＝3)＝P(A)P(BB)＝×2＝.故ξ的分布列为ξ0123P12．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝＝＝.(2)依题意可知，X的

11、所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝.所以X的分布列为：X010205060P13.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ．解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8