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1、基于LMI的单级倒立摆的状态反馈PID控制摘要木文以单级倒立摆为研究对象，通过物理规律得到系统的传递函数和状态方程,并结合状态反馈的概念，将约束条件转化为线性矩阵不等式求解反馈矩阵并得到PID控制器，最后进行MATLAB仿真得到仿真曲线进行对比分析指出该方法的优缺点。关键字单级倒立摆PIDMATLABLMI状态反馈刖吞倒立摆系统是一种典型的非线性的，不稳定的复杂系统。是控制理论教学与科研小研究诸如鲁棒问题、非线性系统的控制等问题的良好实验对象。同时，倒立摆系统作为机器人行走中平衡控制、火箭垂宜姿态控制和卫星飞行中姿态控制的最简单模型在航空航天以及军工等领域有着广泛的用处。倒立摆
2、可以根据摆杆数量的不同分为一级、二级和三级等，多级摆杆间采用口由连接。一级倒立摆的仿真与控制已广泛应用于教学科研，而二级倒立摆也已在大部分实验室屮实现，至于三级倒立摆的控制问题则是国际上公认的难题。然而我国学者李洪兴教授在2002年实现了国际上首次四级倒立摆实物系统的控制，这是我国学者采用自C提岀的理论完成世界性难题的重大科学成就。本文中以单级倒立摆为研究对象,根据物理定律进行建模得到数学模型，在此基础上进行PID控制，并通过MATLAB仿真对比加入PID控制器前后的响应曲线进行分析。数学模型的建立一直线一级倒立摆是由小车、摆杆等部件构成。现假设有一个一级倒立摆系统，其中摆杆的
3、长度为厶，L=2l,质量为加，小车质量为M,u为作用在小车上的外力，&为摆杆与垂直向上方向的夹角，x为小车的水平位移。若不考虑小车与导轨，摆杆与小车Z间的摩擦并且不计齐种空气阻力，则倒立摆系统的受力分析如图1所示。Figure1规定摆杆重心的坐标为(总,比)，则[xG=x+/sin&[yG=Icos0采用隔离法，对小车有”」d2x八、討1)其中7；为摆杆所受沿水平方向的力。对于摆杆，在水平方向上有d~（兀+/sin&）T=加乔（2）在竖直方向上有mg-T2d2（2cos0）其中7；为摆杆所受沿垂直方向的力。T2lsin0-TJcos3=Jd20IF以摆杆质心为旋转屮心建立动力
4、学方程有其中j为摆杆绕其质心的转动惯量。12此时，发现(2)(3)(4)均为非线性方程，为了简化计算并且便于进行控制器设计，要对上述方程进行近似线性化处理。由于控制口标是使摆杆处于垂直稳定状态,即&尽可能的小，甚至接近于0,因此可以认为sin&^O、cos—1、宀0、=这里需要注意因此方程⑵⑶⑷化为T、=mx--mlO(5)mg-T2=0(6)Tje_Ti=j◎⑺消去屮间变量7；、"由⑴⑸式得到(Af+m)x+mid=u(8)rfl(6)(7)式得到(J+ml2)0+mix=mglO(9)由⑻(9)得到单级倒立摆方程4曲+〃咖,凹——w(10)(M+》n)J(M4-7/7)
5、J2——虫一&+—讥11)(M+m)J+Mml~(M+m)J+Mml~设小车的质量M为2Kg,摆长厶为1加，摆杆质量加为O.lKg,重力加速度g取10m/52带入上述方程，可以得到角度与外力Z间的传递函数G($),&($)一〃($)_$2_15.56(⑵rtr丁系统有位丁复平面右半平面的极点显然其不稳定，在阶跃函数作用下的响应的响应曲线如下图所示，同样说明系统是不稳定的，因此需要加入P1D控制来改变系统的性能。Figure2状态反馈PID设计令西=8,x2=e,x3=x,x4=x建立状态方程,则由(10)(11)可得倒立摆系统的状态方程为其中(+z??)g/八'一(M+m)J+
6、MFnr7—°-(M+m)J+A/mZ2ml‘0100、‘0、f000%1X+00010&000丿4丿X=u=Ax+加(13)J+ml2(M+/n)J+A7m/2接下来我们要用状态反馈的方法设计此倒立摆系统的PID控制器。采用文献[4]的方法，在控制输入点之前引入一个积分环节〃⑴=冬⑴，其屮“仏)给定。记2(/)=-(AyA=,b=(00001)0丿'丿因此得到增广系统的状态方程Z二不+加_(14)设状态反馈”⑴=/C)=(K
7、心)恥(/)+心(/)(16)因为rank(b)=}9则bTb«,从而可以将控制输入讥/)用状态及状态的导数表示，即叩)=(胪矿b(_AQ(17)将上式
8、代入(16)式中，得到u⑴=K,x+K2(胪矿bT(x-Ax)=K2(bTb)~]Z/f+(K厂K2(胪矿心”(18)K2(bTb)~'bT为亿-心(心广心)为心，在零初始条件下对上式积分得可以看出这是状态反馈加状态积分反馈的形式。如果能够找到一组状态变量，使得状态反馈就是比例积分加微分，那么该状态反馈策略就是PID控制。对于斤阶系统，微分部分包括了系统从1阶到川-1阶的微分；若是二阶系统，该部分就是一个工程屮常用的PID控制器。现在讨论反馈增益短阵K,使得增广系统满足稳定的指标。即设计反馈
