投资理论之期权定价模型5

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1、投资理论专题研究期权定价模型一、二项式期权定价模型（BOPM）（一）简介1.理论名称。二项式期权定价模型（BOPM，binomialoptionpricingmodel）。2.创始人。考克斯（J.Cox），罗斯（S.Ross）和鲁宾斯坦（M.Rubinstein）。3.代表性的文章、专著及年份。1979年，《金融经济学杂志》第7期，“期权定价：一种简化的方法”。（OptionPricing:ASimplifiedApproach,JournalofFinancialEconomies7:229-263）。后来，1985年，由考克斯和鲁宾斯坦加以改进，

2、形成较完整的理论范式。4.要解决的问题。期权的价格。这里指期权的购买者要付给期权出卖者的补偿，即期权费。（二）理论主干1.主要假设。1）市场不存在违约风险和交易费用。2）期权的标的物为股票。3）期权为欧式看涨期权。4）期权市场和股票市场是完全的。5）期权有效期内基础资产无分红和股息。2.主要理论线索。（1）定义变量：C=买入期权的价格（也就是我们要求的东西）；S当t等于0时股票的价格；0E=期权的执行价格；u=1+股票价格的上升幅度（%）；d=1+股票价格的下降幅度（%）；a=每一份期权对应的买入股票的数量；Cu=股价上升时买入期权的价值（应该为0

3、与uSE两者之间的较大者）；0Cd=股价下跌时买入期权的价值（应该为0与dSE两者之间的较大者）；0r=1+当时的无风险利率R；rneRFnFn=股票价格发生变化的次数，称为n期；j=总共n次变化中上升的次数，那么，n-j为下降的次数；rdP=风险中性概率，是一个假想的虚拟概率。ud1（2）一阶段（单周期）的定价分析。（见吴晓求《证券投资学》，P370，中国人民大学出版社）定理：任何一种金融工具的理论价值都等于这种金融工具能为投资者提供的未来现金流量的贴现。举例：当t=0时，看涨期权的标的物股票价格S50元/股。经过一年以后，股票可能有两

4、种0变化：一是上升到75元，u=1.5；另一种是下降到25元，d=0.5。假定无风险利率为R=25%，F则r=1+25%=125%。在这些条件下，求执行价E=50元的看涨期权，其价格C=？解答：构造如表1的证券投资组合。表1投资组合t=0时资金流入t=1时资金流入S1=25元S2=75元出售2个买入期权+2C0-50购买1股股票-50+25+75借入20元+20-25-25合计——00无论一年后股票价格上升还是下降，其投资结果都为0，因此其成本也应为0。即：2C-50+20=0，则，C=15元。若C=10元，那么，定价偏低。此时买进期权，抛空股票，同

5、时贷出资金将会立刻得到一笔利润，见表2。表2投资组合t=0时资金流入t=1时资金流入S1=25元S2=75元购买2个买入期权-200+50抛空1股股票+50-25-75借出20元-20+25+25合计+1000无论股价在t=1时将发生何种变化，都不会出现纯资金流入和流出。而t=0时资金流入为正的10元，这是一个无风险、无成本的利润。那么投资者将会不停地进行上述套利活动，则期权的价格将不断上升，直到套利利润为0为止。若C=20元时，定价偏高，则投资者可以进行相反的操作，买出期权，购买股票和借入资金并获得一笔无风险利润。见表3。表3投资组合t=0时资金流

6、入t=1时资金流入S1=25元S2=75元出售2个买入期权+400-50购买1股股票-50+25+752借入20元+20-25-25合计+1000那无论股价在t=1时将发生何种变化，都不会出现纯资金流入和流出。而t=0时资金流入为正的10元，这是一个无风险、无成本的利润。那么投资者将会不停地进行上述套利活动，则期权的价格将不断下降，直到套利利润为0为止。所以，期权的价格只能定在15元。通过观察，我们看出，我们要设计一个由买入期权和相应股票组成的投资组合，使得无论股票价格将发生什么变化，这一组合的结果都保持不变。然后，通过贷出或借入资金，使得在t=0时

7、和t=1时组合的最终回报都为0。在本例中，我们是将1股股票与2个买入期权组合，即每个买入期权对应0.5股股票。这个导致组合收益结果与股价变动无关的每一期权所对应的股票数量被称为保值率a。那么，如何求保值率a呢？构建一个一般性的由出售期权和购买股票组成的组合，见表4。表4投资组合t=0时资金流入t=1时资金流入S1=uS0S2=dS0出售1个买入期权C-Cu-Cd购买a股股票-aS0auS0adS0合计--auS0-CuadS0-Cd为了使上述组合成为一个保值组合，必须符合下述条件：auS0-Cu=adS0-Cd由此可得：CuCdaSud0根

8、据保值率a的要求组成的期权与股票的组合，意味着在t=1时，该组合的收益结果只有一个，即：-Cu+auS0=-