附屏东县第47届国中小学科学展览会作品说明书

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1、附件屏東縣第47屆國中小學科學展覽會三：說作品說明書明書封面︵類別：數學請以電腦繕科別：數學打︶組別：國中作品名稱：數字kuso文關鍵詞：函數、密碼、（最多三個）編號：製作說明：1.說明書封面僅寫類別、科別、組別、作品名稱及關鍵詞。2.編號：由崇文國中統一編列。3.參賽學校請填類別、科別、組別、作品名稱、關鍵詞；其餘勿填寫。數字kuso文壹、摘要由於電影「達文西密碼」引發我們對密碼編排的興趣，所以利用函數作為探討的主題。其中利用線型函數將26個英文字母編碼，探討在編碼與解碼的過程中，型如f(x)=kx+c(modn)有哪些限制。再將所探討

2、的結果加以應用，結合撲克牌以及注音符號，將撲克牌轉化為另一種文字表達方式。此外英文字母也利用了對應關係，創造出另一種編碼方式。貳、研究動機由於電影「達文西密碼」裡面的劇情，館長對於文字巧妙的組合以及一連串緊湊的劇情，引發我們對密碼編排的興趣。所以利用函數關係和英文字母，我們希望編排出一套屬於我們自己的密碼。参、研究器材紙、筆、撲克牌肆、研究目的一、利用線型函數以及餘數，以函數一對一的特性將英文字母編碼。二、在函數多對一的情況下，如何解決編碼的問題。三、利用撲克牌將注音符號編碼。伍、研究過程先將字母編成代碼：代123456789101112

3、1314151617181920212223242526碼字abcdefghijklmnopqrstuvwxyz母再利用函數的對應來解碼與編密碼例1：解碼：f(x)=x+1再取除以26的餘數亦即f(x)=x+1(mod26)編密碼：g(x)=x−1再取除以26的餘數即g(x)=x−1(mod26)。可得下列的密碼原字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密碼字zabcdefghijklmnopqrstuvvxy例2：f(x)=3x−1(mod26)，作為函數的對應，來進行解碼與編碼。可得下列的密碼原字母abcdefghij

4、klmnopqrstuvwxyz密碼字rajsbktcludmvenwfoxgpyhqzi結果：字母其實還是按照順序排列，關鍵在於X的係數。以f(x)=3x−1(mod26)為例，字母的排序是每相差3就是下一個字母，所以可以確定若當X係數為2時，字母排序為每跳1格為下一個字母。若將f(x)=3x−1(mod26)當中的3x改為2x，即f(x)=2x−1(mod26)所編得的密碼為原字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密碼字abcdefghijklmnopqrstuvwxyz結果：如上述表可見，所編得的密碼無法對應所有的

5、字母。所以再用類似函數加以嘗試。f(x)=4x−1(mod26)原字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密碼字gahbicjdkelfmtnuovpwqxrysz結果：1.所編得的密碼也無法對應所有的字母。2.試圖找出解決密碼字對應到所有字母的方法。觀察上列二表，有些字母同時對應到2個，但是有些字母卻無法對應。2個同時對應到的密碼字代表餘數相同。以f(x)=2x−1(mod26)為例，若將n~z的餘數加1，則可以使所有的字母皆被對應，所以增設另一函數f(x)=2x(mod26)即可。同理，f(x)=4x−1(mod26)

6、增設f(x)=4x(mod26)即可。f(x)=2x−1(mod26)1≤x≤13亦即f(x)=2x(mod26)14≤x≤26原字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密碼字anbocpdqerfsgthuivjwkxlymzf(x)=4x−1(mod26)1≤x≤13f(x)=4x(mod26)14≤x≤26原字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密碼字gtanhuboivcpjwdqkxerlyfsmz陸、研究結果與討論一、利用f(x)=3x−1(mod26)進行編碼，只需要一組線型函數

7、的理由：將1~26所有的數字代入f(x)=3x−1(mod26)，所對應的值順序分別是：2、5、8、11、14、17、20、23、26、3、6、9、12、15、18、21、24、14、7、10、13、16、19、22、25發現所得到的值包含了1~26，即表示所有的字母都可以被對應。⇒所以利用f(x)=3x−1(mod26)進行編碼，只需要一組線型函數。二、利用f(x)=4x−1(mod26)進行編碼，需要二組線型函數的理由：除了研究過程中所說明的原因，此外尚有如下將1~26所有的數字代入f(x)=4x−1(mod26)，所對應的值順序分別

8、是：3、7、11、15、19、23、1、5、9、13、17、21、25，x=14之後所得到的對應值開始重複，形成一個循環。此時（4，26）=2，只能對應26÷2=13個字母，所以剩餘的13個字