普九义务教材通用教案设计精编_中学卷：中学数学通用教案设计精编之三-毛永聪_李浩原_主编

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1、中学数学通用教案设计精编之三复数的模与辐角主值的复习深化教案设计复数的模与辐角的主值，是复数的重要概念，对于理解复数的几何意义和进行运算都起着重要的作用。尽管学生有所认识，但是由于综合运用各科知识的能力较差，所以解题容易出错。本设计以一题多解的形式，探讨一下怎样深化复数的模与辐角主值的复习教学。【题目】设复数z1=cosθ+isinθ，（0≤θ＜π，θ≠π/2）、z2=z1i+1，z1，z2分别对应复平面上的点A、B，O为坐标原点，∠AOB=α（0≤α＜π），求角α的大小。一、应用三角公式化复数为三角式解法一（分析：因

2、为复数z1、z2分别对应复平面上的点A，B所以∠AOB可以用argz1与argz2的差来表示。关键是把z2化为三角式并且判断argz1与argz2的大小。）π∵z=cosθ+isinθ，（0≤θ＜π，θ≠）①12∴z2=z1i+1=（cosθ+isinθ）i+1æπöæπö=1-sinθ+icosθ=1+cosç+θ÷+isinç+θ÷è2øè2øæπθöéæπθöæπθöù=2cosç+÷êcosç+÷+isinç+÷ú②è42øëè42øè42øûπππθπæπθö1°，0≤θ＜时，≤+＜，cosç+÷＞0，这24

3、422è42øπθ时，②式是z的三角形式，argz=+，并且argz＞argz，222142πθπθ∴α=argz-argz=+-θ=-。214242πππθ3ππθ2°，当＜θ＜π时，＜+＜，cos（+）＜022424420，这种用复数的辐角主值的差来确定夹角α的方法，思路清晰，但是将z2ππ化为三角形式是解答本题的前提；合理地分0≤θ＜与＜θ＜π两22πθ个区间，判断cos（+）的值的符号则是关键。因此，只有熟练地应42用三角变换公式，记住复数三角式的特点，并且善于讨论参数的范围，才能正确作出解答。二、应用复数除法

4、法则解法二（分析：若argz2＞argz1，则由复数除法的几何意义可知：z2α=arg。）z1由解法一中的①式与②式知道：æπθöéæπθöæπθöù2cosç+÷êcosç+÷+isinç+÷úz1è22øëè42øè42øû=zcosθ+isinθ2æπθöéæπθöæπθöù=2cosç+÷êcosç-÷+isinç-÷ú③è42øëè42øè42øûπππθπæπθö1°，当0≤θ＜时，≤+＜,cosç+÷＞024422è42øz2πθπ所以③式是的三角形式，且0＜-≤，z4241πππθ3πæπθö2°，当＜

5、θ＜π时，＜+＜cosç+÷＜0，22424è42øzæπθöéæ5πθöæ5πθöù2∴=-2cosç+÷êcosç-÷+isinç-÷ú④zè42øè42øè42ø1ëûz23π5πθ所以④式是的三角形式，且＜-＜π，z4421z25πθ∴α=arg=-z421这种由复数的商的辐角主值来确定夹角α的方法，是建立在对于复数相除的几何意义有着深刻理解的基础上的。与解法一相比较，思路要复杂些，因为两个复数的辐角主值的差是通过两个复数的商的辐角主值来体现的。这πθπθ样，对于③式来说，不仅要判断cos（+）的值的符号还要分

6、析-4242的范围，没有较强的分析能力与扎实的基础知识是容易弄错的。另解：若从z1/z2入手，则由于zcosθ+isinθ1=z2æπθöéæπθöæπθöù2cosç+÷êcosç+÷+isinç+÷úè22øëè42øè42øû1éæθπöæθπöù=êcosç-÷+isinç-÷úæπθöëè24øè24øû2cosç+÷è42øπz11°，当0≤θ＜时，同以前讨论⑤式是的三角形式。2z2πθπ但是-≤-＜0，可知argz＜argz，根据复数相除的几12424æθπöπθ何意义，可得α=-ç-÷=-。è24ø42

7、πz112°，当＜θ＜π时，同以前讨论，=2z2æπθö-2cosç+÷è42øéæθ3πöæθ3πöùêcosç+÷+sinç+÷ú⑥ëè24øè24øûz1θ3π5π虽然⑥式是的三角形式，但是π＜+＜，超出了z24420≤α＜π的范围，于是可以把⑥式化为：z1éæθ5πöæθ5πöù1=êcosç-÷+isinç-÷úz2æπθöëè24øè24øû-2cosç+÷è42øθ5π3π∵-π＜-＜-，同上分析有244æθ5πö5πθα=-ç-÷=-è24ø42由以上的两种求商的不同解法可知，只要对复数相除的几何意义以

8、及辐角主值范围有透彻的理解，都能够求出α的大小。同时，通过逆向思维，加深了对复数主值范围的理解，使感性知识上升为理性知识。三、应用向量加法法则π解法三：（分析：∵

9、z

10、=1，argz=θ，0≤θ＜π，θ≠，112

11、z1i

12、=

13、z1

14、=1，∴z2=z1i+1可以运用向量加法的平行四边形法则作出菱形，易知z2对应的向量OB相应于菱形的