数学模型在经济理论中的应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第5卷第1期太原师范学院学报(自然科学版)Vo1．5No．12006年3月joURNAL0FTAIYUANN()RMAIUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Mar．2006数学模型在经济理论中的应用易红霞何先平杨明林(1．长江大学信息与数学学院，湖北荆州434023；2．长江大学地球科学学院，湖北荆州434023)[摘要]文章以数学模型和经济增长模型为基础，给出了国民收入的数学模型，并预测到2043年我国人均国民生产总值将达到2998．36美元．[关键词]数学模型；微分方程模型；经济增长[文章编号]1672

2、—2027(2006)01—0019-03[中图分类号]029[文献标识码]A0引言随着科学技术的迅速发展，数学模型_】]越来越多地出现在现代化人的生产、工作和社会活动中．电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模型来对控制装置做出相应的设计和计算，才能实行有效的过程控制．气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型．生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药．数学模型已经渗透到各个领域中，数学模型在经济中的应用已经成为经济领域中最核心的问题，也一直

3、是人们所关注的重点．1国民收入的微分方程模型国民收入的主要来源是生产，国民收入主要用于以下三个方面]：消费资金、投入到生产的资金积累及公共设施的开支．设t时刻国民收入水平、消费水平分别为Y(t)、C(t)，t时刻的投入再生产的资金为()，G表示投入于公共设施的资金，这里看作常数．设国民消费水平与国家生产水平成正比，比例系数为五，即C=kY(k为消费系数，那么===1一是则为积累系数)，那么t时刻的需求水平D(f)可表示为：D(f)一kY++G(1)设生产水平的改变与需求水平的差成比例，即=I(D—y)(为比例系数且>o)．(2)设投入再生产水平的变化率与国民收入水平的变化率和现有的投

4、资水平的差成正比例，即dI(盘dY一一)(>O，盘>O，且，为常数)．(3)由(1)、(2)式可知+lsY=l(I+G)(4’上式两边对f求导得：筝+dY十一dI(5)计算整理后有d2y+(厶+lm“)dY+l一mY=lmG(6)引入记号a=ls+一lma，~：mls，上式化为：收稿日期；2006O12O作者简介：易红霞(1980一)，女，湖北潜江人，长江大学信息与数学学院在读研究生，研究方向为概率与数理统计研究维普资讯http://www.cqvip.com20太原师范学院学报(自然科学版)第5卷+十口。+十；3Y—一ling(⋯7)上式是一个关于国民收入的二阶常系数微分方程，其系

5、数a、、、G及y(O)，I(O)均可由统计数据得到，其中Y(0)可将y(0)及I(0)带入(4)式得到，故此方程有解．2模型的分析(7)式这个关于国民收入的二阶常系数微分方程的特征根可以求解出来，其两个特征根分别为：2-a--a-v／~-A、+Ja4；3、4；3I一—————————————一一，A2一—————————————一一，验算可知为(7)式的一个特解，下列对(7)式的通解讨论。1)当口>4时，(7)式的通解为y(￡)=AeA~+Bz+，若、中至少有一个为正，则liray(￡)一+o。，即国民收入随时问的推移而增加，、。均为负时，则limy(￡)一，即国民收入随时间的推移而

6、趋于常数，也就是国民收入稳定．2)当a。一4；3时，即有一。一则与当a。>4时的情况相同．即当X>O时，国民收入随着时间的推移而增加，当<0时，国民收入随着时间的推移而趋于常数，也就是国民收入最后稳定．3)当口z≤4时，此时一+，一一，其中一一詈，一那么(7)的通解为y(￡)一^sin(￡+)+_t．r，其中h，W为常数，此时国民收入y(f)将随着时间的推移而出现振荡，当a>o时，limhe一0，即振荡的幅度不断下降，则国民收入将趋于一个常数，当a<0时，lirahe一+o。，表示振荡的幅度随着时间的推移而增大，根据差分方程的稳定性理论可知，只有当特征根的模ID<1时，差分方程的解才

7、是稳定的，有稳定解的模型则可以用来预测国民收入的增长趋势．而对于这个具体的模型则只要<1，就可以利用这个模型进行预测．3模型的应用通过统计数据(统计数据来自2003年中国统计年鉴)，可以得到如下数据=0．25，A=0．8，m=1，=2，y(0)一138，I(0)556．24，G=65．22．把1987年看作是第0年，所有的资金全部兑换成人均美元，计算5、A、、时均可应用Matlab编程口来计算出直线的斜率：口一ls+一lmA一一0．1一mls一0．5<1口