2003年考研数学(一)真题评注

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1、2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）=.【分析】型未定式，化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.【详解1】=,而，故原式=【详解2】因为，所以原式=（2）曲面与平面平行的切平面的方程是.【分析】待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.【详解】令，则，，.设切点坐标为，则切平面的法矢量为，其与已知平面平行，因此有，18可解得，相应地有故所求的切平面方程为，即.（3）设，则=1.【分析】将展开为余弦级数，其系数计算公式为.【详解】根据余弦级数的定义，有=

2、==1.（4）从的基到基的过渡矩阵为.【分析】n维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足[]=[]P，因此过渡矩阵P为：P=[[.【详解】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为P=[[.=（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为18则.【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可转化为二重积分=进行计算.【详解】由题设，有=y1DO1x（6）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值【分析】已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据

3、，由确定临界值，进而确定相应的置信区间.【详解】由题设，，可见于是查标准正态分布表知本题n=16,,因此，根据，有18，即，故的置信度为0.95的置信区间是.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是

4、极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极

5、限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.18(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由知，分子的极限必为零，从而有f(0,

6、0)=0,且充分小时），于是可见当y=x且充分小时，；而当y=-x且充分小时，.故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当时，向量组I必线性相关.[D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如，则

7、，但线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C).故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解