郑州大学2013至2014学年第1学期高等数学试卷

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1、郑州大学2013至2014学年第1学期高等数学试卷考试方式：闭卷时间120分钟题一二三四总分核分人号复查总分总复查人一、求解下列各题（每题5分，共50分）π1、求极限lim?→∞[(−arctan?)?].2?2、设函数?=，求它在?=0处的导数和微分.√?2+1?2?2???3、已知∫?dt=∫cos?dt，求.00???=sin?，π4、设曲线方程为{求此曲线在点t=处的切线方程.?=cos2?，415、求∫??.1+??1+???6、求∫??.(????)2?237、求∫sin???.0118、求∫ln??.01−?′′′39、求解微分方程?=?

2、+?′.′′′??10、求方程?−2?+?=??−?的一个特解.二、求解下列各题（每题10分，共20分）1、（1）设平面图形A由抛物线?=?2，直线?=8及x轴所围成，求平面图形A绕x轴旋转一周所形成的立体积.（2）在抛物线?=?2求一点，使得过此点所作切线与直线?=8及x轴所围图形面积最大.2、放射性化学元素镭，在任意时刻t的质量m(t)减少速率，与此时刻t存在的质量m(t)成正比，比例系数为正数k。假定开始时刻t=0时质量为m0克，经过1600年后它的质量减少了一半，求出k和质量的具体衰变规律。三、求解下列各题（每题10分，共20分）1、设函数?=

3、?(?)在区间[?,?]可导，?(?)=1，且导函数有界?′(?)≤?.证明：?∫?(?)??≤1?(?−?)2+(?−?).2?2、设?(?)和?(?)在[−π,π]连续，证明：?2（1）若?(?)为奇函数，则∫??(?)??=0；2???（2）证明：∫??(sin?)??=∫?(sin?)??.020四、（10分）3设有方程?−3?+?=0（c为实常数）。利用微分学知识解决以下问题：（1）证明无论c为何值，方程总有实根；（2）c满足为什么条件时方程恰有一个实根？（3）c满足什么条件时方程恰有两个实根？（4）c满足什么条件时方程有三个实根？（5）方程

4、会不会有四个实根？说明理由。