清华大学复分析春期中考试题目答案

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1、A卷一、填空题（每空4分，共32分）1.以下集合BC为单连通域。A、；B、；C、；D、。2.幂级数的收敛半径是1，它的和函数是：。3.设，。那么在原点处是否可导是。（填“是”或“否”）4.如果分式线性变换把映为，并且，。那么的表达形式是：。5.在上取多值函数的单值解析分支使得。那么。这里表示虚轴上从到的直线段。6.若是区域上具有连续二阶偏导数的调和函数，那么是否具有各阶连续偏导数？是。（填“是”或“否”）7.多项式在单位圆盘有　100个根。二、计算题（共38分）1.(９分)；　解：的零点为，都位于内。由留数定理：积分。4/42.(9分)；解：直接应用书本的结论：积分。3.(

2、10分)；解：直接应用留数定理时，在处的留数难以计算，所以作如下考虑：令，则，又由于积分与无关，所以该积分为0。另一方面，应用留数定理知：，所以。4.(1０分)，这里，，。解：因为，可对逐项计算积分。4/4，现在分情形如下：如果，则，令可见上面的积分趋于0，所以。如果，则。综上所述，。三、证明题（每小题10分，共30分）1、令为上半平面，是一个给定的实数。请做出从单连通区域到上半平面的解析同胚。解：第一步：作分式线性映射，把映为；第二步：作开方映射，把映为；第三步：作分式线性映射，把映为第一象限；第四步：作平方映射，把映为。2、求证：若复平面上的亚纯函数以为可去奇点，则它是

3、有理函数。证明：设是复平面上的亚纯函数，以为可去奇点，那么在复平面上仅有有限个极点，设极点的阶数为。这时4/4可视为复平面上的全纯函数，并且显然以为极点，我们在作业中已经证明，这样的是一个多项式，从而是一个有理函数。3、设是从到区域D上的解析同胚，并且　证明。证明：对应用Cauchy导数公式得，，于是，令即有。反过来，设的逆函数是，并对应用Cauchy导数公式有，，所以，再由于，则，令即有。4/4