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时间:2019-03-03
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1、A卷一、填空题(每空4分,共32分)1.以下集合BC为单连通域。A、;B、;C、;D、。2.幂级数的收敛半径是1,它的和函数是:。3.设,。那么在原点处是否可导是。(填“是”或“否”)4.如果分式线性变换把映为,并且,。那么的表达形式是:。5.在上取多值函数的单值解析分支使得。那么。这里表示虚轴上从到的直线段。6.若是区域上具有连续二阶偏导数的调和函数,那么是否具有各阶连续偏导数?是。(填“是”或“否”)7.多项式在单位圆盘有 100个根。二、计算题(共38分)1.(9分); 解:的零点为,都位于内。由留数定理:积分。4/42.(9分);解:直接应用书本的结论:积分。3.(
2、10分);解:直接应用留数定理时,在处的留数难以计算,所以作如下考虑:令,则,又由于积分与无关,所以该积分为0。另一方面,应用留数定理知:,所以。4.(10分),这里,,。解:因为,可对逐项计算积分。4/4,现在分情形如下:如果,则,令可见上面的积分趋于0,所以。如果,则。综上所述,。三、证明题(每小题10分,共30分)1、令为上半平面,是一个给定的实数。请做出从单连通区域到上半平面的解析同胚。解:第一步:作分式线性映射,把映为;第二步:作开方映射,把映为;第三步:作分式线性映射,把映为第一象限;第四步:作平方映射,把映为。2、求证:若复平面上的亚纯函数以为可去奇点,则它是
3、有理函数。证明:设是复平面上的亚纯函数,以为可去奇点,那么在复平面上仅有有限个极点,设极点的阶数为。这时4/4可视为复平面上的全纯函数,并且显然以为极点,我们在作业中已经证明,这样的是一个多项式,从而是一个有理函数。3、设是从到区域D上的解析同胚,并且 证明。证明:对应用Cauchy导数公式得,,于是,令即有。反过来,设的逆函数是,并对应用Cauchy导数公式有,,所以,再由于,则,令即有。4/4
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