关于范氏气体的几点讨论

《关于范氏气体的几点讨论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、关于范德瓦尔斯气体的几点讨论徐丽物理与电子信息学院物理学专业2006级指导老师：刘自祥摘要：本文主要讨论了非理想气体的代表之范德瓦尔斯气体方程的推导和各种准静态过程方程及其热容量，以及以范德瓦尔斯气体作为工作物质的卡诺循环的效率讨论，间接证明卡诺循环的正确性。关键词：范德瓦尔斯气体，基本过程，热容量，卡诺循环1.范德瓦尔斯气体状态方程的推导如图1・1所示，设边长为a,b,C的长方体容器内贮有N个同类分子组成的非理想气体，此系统处于温度为T的平衡态。假设分子间的相互作用力具有球对称性，并表示为下述形式，Au£=戸_戸(11)应实际分子力是属于短程力，故若以厂。表示分子间的有效作用距离，则当

2、r>r0时，/=Oo设MM'是气体中一想象的界面，与器壁S=(be)面相距为『°,如图2所示。跟踪某一以初速度卩飞向S面的分子a(见图1.1、1.2),以厶表示任意时刻ex与S面之间的距离。当厶》心时，a所受其它分子力作用的合力在兀方向的投影为0,因此a的速度分量冬不变；而当厶V厂o时，则a在咒方向上受到一个不为零的力一一Fx(x)的作用，所以当a由MMr到其与S面相碰的时间内，其速度的x分量将由以增加为v/。可见，一个原来具有速度分量的分子与S面相碰时，施与的冲量是2mvxro因为麦克斯韦速度分布律不但对平衡态的理想气体适用，同时也适用于平衡态下的非理想气体。故容器内速度分量冬在玖一冬

3、+d冬间隔内的分子数dN=NfgdUx(1.2)其中，(1.3)为速度分量冬的分布函数。不难理解，在吋间At=a/vx内，dN个分了施与S面的冲量为di=2mVx•dN(1.4)根据压强的定义，dl即=砂(1・5)由(2)(3)(5)式，可得dN分子对S面所产生的压强dp=2mv^xnf^y^dVx(1.6)如果所讨论气体是理想的，则=因此，对(6)式枳分可得理想气体状态方程p=nkTo可现在讨论的是非理想气体，因此，v'xvxo因为分子a在位置咒处所受其它分子的作用力Fx(x),实际上就等于图2中位于阴影区域内的分子对a所产生的作用力在无上的投影之和，所以利用(1)式通过积分可求得F(

4、x)=n[B(x)—4(%)]其中，2tt/zf(r0-%)2~r021t-if2rot-1+1-3L(r0-xy~3B(x)=2ttAs-1((r0-x)2-r02I+s-31(r0-%)s"3分子a遵从牛顿运动方程mx=&(尤)(1.7)(1.8)(1.9)(1.10)mxdx=Fx(x)dx取下述定积分叱厂o_RFx{x)dxxdx=jv丿o可得a与S面相碰时速度的%的分量琨=(Vx2+C)2=VX(1+(1.12)(1.13)1r0t_41a-3)a-4)(1.14)2nXr1/I1(s—3)(s—4)'R^_咛-41ros~4其屮C=-dB-A)m2®A——t-1上式中的R则

5、为分子有效直径的1/2,即分子与S面相碰U寸质心到S的距离。除个别分子外，对于其它所有分子，均有C/vx2«1的关系成立。所以，001+丁k=2k_1(2k—3)!!/Ck目丿(1.16)将式(12)、(16)代入式(6),得dp=2mnvx2+mnC+mnvx(2/c-3)!!k=2k•fgdUx考虑到所有冬＞0的分子对S面的作用，则对上式积分即可得到非理想气体状态方程：1p=nkT+-mnC+mnD(1.17)其屮,(韵如(1.18)C=—(B-A)m式(18)表明，C、D均与气体的性质和温度有关。对于理想气体，因/=0,则(17)式化简为：p=nkTo若将式(17)的最后一项略

6、去，并将(18)代入，得p=nkT+n2B—n2A(1.19)取N=Na，并令则(19)可改写成或(1.20)RTRTba1KnVm2Vm2(1.21)(1.22)P+(冷一b)=RT当b/Vm«lff'h(1+b/V^-1=1-b/Vm，代入上式，得(1.23)式(23)便是我们熟知的范德瓦尔斯方程(lmol)。因为分子的有效直径d与气体的温度有关，故由(14)、(15)、(20)三式可以说明，范德瓦尔斯方程屮的修正量a和b不但与气体的性质有关，同时也与气体的温度有关。1.范德瓦尔斯气体的各种过程2.1多方过程热力学第一定律为：(2.1.1)(2.1.2)dU=dQ+dA=CdT一pd

7、V而lmol范氏气体的内能为：dU=CvdT+-^dVV'mVm2由式(2.1).(2.2)联立，可得(2.1.3)将范氏方程(1.23)代入(2.3),得RT(、石亍+(7—)=0