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1、特征根法在高中数列解题中的应用东莞第八高级屮学黄俊华、沈有平【扌商要】已知数列的递推公式求数列的通项公式是一种重要的数列题型，当已知的递推公式为二阶形式的时候，要用一般的方法求通项公式较困难，本文主要介绍采用特征根法来解决二阶递推关系的通项公式的方法和步骤，同时给出具体的例子进行说明。【关键词】数列；特征根法；递推公式；通项公式已知数列的递推公式求数列的通项公式是高中数列学习中一种非常重要的题型，也是高考中经常考查的内容，对于这种题型我们经常根据所给出的递推关系形式的不同运用累加法、累乘法、构造法、取倒数法、对数变换法、作差法來求数列的通项公式，但是对于递推关系形如an
2、=u｝an_｝+u2an_2等形式的数列，如果还用这些方法来求数列的递推关系，过程将会非常的复杂,也很容易出现错误，本文将介绍一种新的方法一-特征根法，来求这种类型的递推数列的通项公式。1求形如an=U1an_i+u2an_2的递推数列的通项公式由于所给的递推公式根我们平时遇到的递推公式有很大的差别，对于这种递推公式，如果用累加法、累乘法、构造法等方法来解决，过程肯定非常繁琐，甚至解不出来，所以要用一种新的方法来解决，也就是特征根法，使这种题能够简便解决，特征根法的解题步骤如下：(1)将d“=uxan_x+u2an_2改写成an-uxan_x-u2an_2=0,则方程/
3、_绚兀一陶=0为该递推数列的特征方程，该方程的根为数列％=+弘2色—2的特征跟；(2)如果递推关系an=uAan_｛+u2afl_2的两个特征根为g和的，若q严eg那么数列｛色｝的通项公式为an=-qn+c2-qn,若q、=q?,则a”=c「q"n・q"・例1：已知数列｛d“｝中,a｛=l,a2=2,而且a”二2色_[+3a“_2,求数列｛%｝的通项公式;解：递推关系陽=2陽一+3色_2的特征方程为：2—3=0,解得x｝=3,x2=-1,所以色二q•3”+C2(-1)",其屮c,和q为待定的常数，又d]=1,$=2,所以：严一°2=1解得：＜+c2=2所以：匕冷3冷(-
4、1儿例2：已知数列｛绻｝屮，a｛=1,«2=2,而且an=6an_｝+9aH_2,求数列｛色｝的通项公式；解：递推关系色=6仏]+9色_2的特征方程为：〒一6兀一9=0,解得X]=花=3,所以①=q•3"+C2/•3",其中q和C2为待定的常数，乂61、—1,CI,—2,[3c+3c=1,所以：彳12解得：＜[9c,+18c2=2所以：G=±3"—巴・3”=4・3”-2一农.3"一2.”99评析：对于这种类型的通项公式如果采用一般的方法來解决将会很繁琐，所以我们采用特征根法来解题，使用特征根法的过程要注意，递推公式的的特征根是否是重根，因为两种情况的的解法是不相同的；
5、2求形如色=“禺”_
6、+叽_2+/(“)的递推数列的通项公式观察所给的递推关系的形式，发现该递推关系比上面的多了一个余项，对于这种形式的递推关系我们仍然可以用特征根法来求解通项公式，只是过程会相对复杂一点，具体解题步骤如下：(1)先求递推公式an=络d“一]+u2an_2的通项公式；(2)若/(司是关于兀的加次多项式，如果1是an-uxan_x+u2an_2的位=1,2)重特征根，则递推关系an=uxan_｝+u2atl_2+/©)有特解an=，如果1不是an=%%+u2an_2的特征根,则d”+U2Cln-2+/(〃)有特解绻=g(n)其屮g(n)是关于〃的加多项式；
7、(3)若f｛n)=C'Cin,,其中a,c是非零的常数，如果a是递推关系an-u｝an_｝+u2afJ_2的i(i=1,2)重特征根，那么=u｛an_x+u2an_2+f(ri)有特解％=A-nlanf但如果a不是递推关系an=络+u2atl_2的特征根，那么a”=^an-+u2an-2+/S)有特解％=As",其中A是待定系数；(4)分别求出数列an=绚。“_]+u2an_2的通解和数列an=绚d”-i+uian-i+/(〃)的特解，那么数列｛。”｝的通项公式等于an=uxan_x+u2an_2的通解加上递推公式an=uxan_x+u2an_2+f(n)的特解；2
8、749例1：已知数列｛a“｝中，ax=—,tz2,而且=5。”_]一6%_2+〃+2，求数列｛色｝的通项公式;解:递推关系Q”=5%_]-6陽_2的特征方程为x2-5x+6=0,所以特征根为州=2,x2=3,则an=2%-an_2通解为an=q•2n+c2•3",又因为1不是an=2an_｝-an_2的特征根，所以a”=5an_x-6atl_2+n+2,有特解色=An+B，其中A和B是待定的常数，将其待进递推公式5=2陽」—色_2+料+2可以得到:{An+B)=—1)+B]——2)+B]+〃+2,化简得到：2A/?+2B-7A=n+2,所
