基于电力负荷时间序列混沌特性的短期负荷预测方法研究_2_3相空间重构理论及方法_

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1、2电力短期负荷时间序列的混沌特性分析n定义2.5对于x,y∈R，当x≠y时，f(x)≠f(y)，则称f是1-1映射。定义2.6设f：U→V是1-1映射，满足：−1(1)若f为连续函数，且f也连续，称f是U到V的一个同胚；−1(2)如果f和f均有r阶偏倒数且连续，称f是U到V的r阶微分同胚，简称微分同胚，其中r为自然数。④不动点在连续动力系统中，存在相空间中的点x0，满足当t→∞时，轨迹x(t)→x0，则称x0为不动点。⑤吸引子是相空间的一个点集或子空间，并随着时间的流逝，在暂态消失后所有轨迹都趋向于该点集或子空间。定义2.7若集合X′满足f(X′)

2、=X′，则称X′为映射f的不变集。nn定义2.8设X′是映射f:R→R的非空不变集，如果点x满足nf(x)→x′(n→∞)，称x为不变集X′的吸引子。不变集X′的吸引子全体称X′的吸引域A(X′)。如果存在开集U使得A(X′)⊃U⊃X′称不变集X′为f的一个吸引子。⑥分岔指动态系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。对于含参数的动态系统：dx=f(x,µ)(2.5)dtnm其中x∈R为状态变量，µ∈R为分岔参数。当参数µ连续地变化时，若系统相轨迹的拓扑结构在µ=µ处发生突然变化，则系统在µ=µ处出现分岔，µ称为分岔000T值；(x,µ)称为

3、分岔点。02.3相空间重构理论及方法①相空间重构在许多自然科学和工程技术等领域，人们往往容易获得的是研究对象的时间序列，传统的做法是直接从这个序列去形式地分析它的时间演变。但由于时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴藏着参与运动的全部变量的痕迹，因而我们必须把该时间序列扩展到三维甚至更高维的相空间去，才能把时间序列中的信息充分地显露出来，即时间序列的相空间重构。最初提出相空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子。因为一个混沌系统产生的轨迹经过一定时期的变化后，最终会做一种有规律的运动，产生一种19规则的、有形的轨迹(混沌吸引子)。这种

4、轨迹在经过类似拉伸和折叠后转化成与时间相关的序列时，却呈现出混乱的、复杂的特征。Packard和Takens提出通过某变量的延迟重构可以把有规律的轨迹恢复出来。从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础。定义2.9设(N,d),(N,d)是两个度量空间，如果存在映射ψ:N→N满足：①ψ是111满射；②d(x,y)=d(ψ,ψ)(∀x,y∈N)，则称(N,d),(N,d)是等距同构的。1xy11定义2.10如果(N,d)于另一度量空间(N,d)的子空间(N,d)是等距同构的，则112200称(N,d)可以嵌入到(N,d)。1122定理2.1M是m维

5、流形，ϕ:M→M，ϕ是一光滑的微分同胚，y:M→R,y有2m+12m二阶连续导数，φ(ϕ,y):M→R，其中φ(ϕ,y)=(y(x),y(ϕ(x)),L,y(ϕ(x)))，2m+1则φ(ϕ,y)是M到R的一个嵌入。Takens延迟时间重构思想指出，系统中的任一分量的演化都是由与之相互作用着的其它分量所决定的。因此，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中，为了重构一个“等价”的状态空间，只需考察一个分量，并将它在某些固定的时间延迟点上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是新的坐标。它们确定了某个多维状态空间中的一点。重复这一过程并测量相对于不同

6、时间的各延迟量，就可以产生出许多这样的点，然后就可以运用其它方法(Lyapuaov指数，维数和熵等)来检验这些点是否存在于一个混沌吸引子上。设{xk:k=1,2,…,N}是等时间距离观测得到的某一时间序列，将其嵌入到m维欧m氏空间R中，得到一个点(或向量)集J(m),其元素记作：X=(x,x,K,x)111+τ1+(m−1)τX=(x,x,K,x)222+τ2+(m−1)τ(2.6)MX=(x,x,K,x)nN−(m−1)τN−(m−2)τN式中τ为时间延迟；m为嵌入维数；相点总数n=N−(m−1)τ，Xi为重构相空间相点，i=1,2,…,n。对于

7、不含噪声的时间序列，Takens证明，含吸引子的m维微分流形可以采用导数坐标或延迟坐标(任意延迟时间)嵌入到m>2D+1(D为吸引子维数)维相空间而保持吸引子的拓扑性质，即可以建立真实相空间与重构相空间的微分同胚。但对于含有噪声的时间序列进行延迟时间重构还没有得到该理论的推广，因此合理选择延迟时间和嵌入维数是非常关键的环节，否则有可能脱离微分同胚的原则。②相空间重构参数的选择由于嵌入理论是针对无噪声观测信号且要求数据量无穷大，在实际应用中，该条件是不可能满足的，实际观测的信号不仅含有噪声，而且数据量和精度是有限的。202电力短期负荷时间序列的混沌特

8、性分析在这种情况下，为了使重构的相空间能够重现原系统的特性，状态点的每一个分量必须能够提供有关系统的信息。因此，在相空间重