某些自相似集hausdorff测度的研究

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1、摘要本文研究了两类分形集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的计算问题，我们首先发展［１７】中的技巧，考虑平面内单位正方形（空间正方体、正四面体）生成的一类自相似集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度，在满足强分离条件及维数小于ｌ的条件下，当压缩比满足一定条件时，通过确定最大上凸密度得出自然覆盖即是最好覆盖，从而得到此类自相似集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的精确值；同时对于【¨】，【１４】运用初等不等式的研究手法做一定的推广，确定了一类齐次完备集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度．本文主要由三部分内容构成：引言中介绍了分形的起源及一些专家、学者在Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度研究方面取得的成果和进展；在第一章我们回顾了Ｈａｕ

2、ｓｄｏｒｆｆ测度和维数的基本概念，性质，还提及一些计算Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度和维数的常用技巧（质量分布原理等）；第二章中系统阐述了自相似压缩系统与开集条件、强开集条件和强分离条件；在本文最后一部分，对几种特殊自相似分形集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度做了一定的研究，其中第一节引入研究中起着重要作用的密度定理，然后对文【１７】中的正方形Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯再探讨，去掉了０＜丸＜｛这一明显条件，在第三．四节将该方法推广至月３中的正方体Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ海绵和正四面体Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ海绵，最后一节我们讨论了直线上一类齐次完备集的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度问题．关键词Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度

3、，Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数，自相似集，上凸密度，Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯，Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ海绵，齐次完备集．ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｅｘａｃｔｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＨａｎｓｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅａｂｏｕｔｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆＦｒａｃｔａｉｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｗｅｅｘｐａｎｄｔｈｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉｎｐａｐｅｒ【１７】ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅＨａｕｓｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅｏｆｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｓｅｔｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｕｎｉｔｓｑｕａｒｅ（ｃｕｂｅ，ｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ）．Ｗｅｓｕｐｐｏｓｅｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌ

4、ａｒｓｅｔｓａｔｉｓｆｉｅｓｓｔｒｏｎｇｓｅｐａｒａｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｔｓＨａｎｓｄｏｒｆｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｔｈａｎ１．Ｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｎａｔｕｒｅｃｏｖｅｒｉｓｔｈｅｂｅｓｔｃｏｖｅｒｂｙｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇｔｈｅｂｉｇｇｅｓｔｖａｌｕｅｏｆｕｐｐｅｒｃｏｎｖｅｘｄｅｎｓｉｔｙ，ｔｈｅｎ，ｗｅｏｂｔａｉｎｔｈｅＨａｕｓｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅａｂｏｕｔｔｈｉｓｋｉｎｄｓｏｆｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｓｅｔｓ．Ｓｅｅｏｎｄｌｙ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｕｓｅｄｉｎｐａｐｅ

5、ｒ【１１】ａｎｄ［１４］，ｗｅｄｅｖｅｌｏｐｉｔｔｏｇｅｔｔｈｅＨａｕｓｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅｏｆｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｐｅｒｆｅｃｔｓｅｔ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｔｈｒｅｅｐａｒｔｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．ＷｅｐｍｓｅｎｔｔｈｅｓｏｕｒｃｅｏｆＦｒａｃｔａｌａｎｄｓｏｍｅｎｅｗ陀一ｓｕｉｔｓａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓｉｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔ，ｗｅｒｅｖｉｅｗｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓａｎｄｐｒｏｐ—ｅｒｔｉｅｓａｂｏｕｔＨａｕｓｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅａｎｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．Ａｆｔｅｒｔｈａｔ．ｗｅｍｅｎｔｉｏｎｓｏｍｅｓｋ

6、ｉｌｌｓ（ｓｕｃｈａｓｑｕａｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）ｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｂｏｕｔＨａｍｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔ，ｗｅｅｌａｂｏｒａｔｅｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｃｏｎｄｅｎｓｅｓｙｓｔｅｍ，ｏｐｅｎｓｅｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｓｔｒｏｎｇｏｐｅｎｓｅｔｃｏｎ－ｄｉｔｉｏｎａｎｄｓｔｒｏｎｇｓｅｐａｒａｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ．Ｉｎｔｈｅｌａｓｔｐａｒｔ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅＨａｕｓｄｏｒｆｆｍｅａｓｕｒｅｏｆｓｏｍｅｓｐｅｃｉａｌｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｓｅｔｓ；ｉ

7、ｎｓｅｃｔｉｏｎｏｎｅ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｄｅｎｓｉｔｙｔｈｅｏｒｅｍｈａｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｅｆｆｅｃｔ，ｔｈｅｎ，ｗｅｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｓｑｕａｒｅｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉｃａｒｐｅｔｍｅｎｔｉｏｎｅｄｉｎｐａｐｅｒ【１７】ａｎｄｄｉｓｍｉｓｓｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆ丸＜｛．ｉｎｓｅｃｔｉｏｎｔｈｒｅｅａｎｄｆｏｕｌ，ｗｅｅｘｐａｎｄｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｔｏＲ３．ｗｅｄｉｓｃｕｓｓａｋｉｎｄｓｏｆｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｐｅｒ