数学归纳法应用教学设计

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1、数学归纳法应用教学设计广东北江中学陈继平一、教材分析数列与数学归纳法是高中数学重要的内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：首先数学归纳法与数列有着广泛的实际应用。其次，本章内容是培养学生数学能力的良好题材。学习数学归纳法要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及勇于探索的科学精神。许多科学论断的发现求证都是使用的“归纳---猜测---证明”的演绎推理方法。二、学情分析学生初步具备了分析问题解决问题的能力，对于贴近生活实际的问题，学生基本上能够掌握和解答，并能够做到灵活运用。但有

2、部分学生基础较差，缺乏分析问题和解决问题的能力，特别分析问题、解决问题的能力较差，对所学知识达不到学以致用，抓不住重点。三、教学目标1、知识与技能：了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力。了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤。抽象思维和概括能力进一步得到提高。2、过程与方法：培养学生在观察的基础上进行探索、猜想和发现的能力，进而培养学生的创新意识，使他们学会求知。3、情感、态度与价值观：培养学生从特殊到一般、从有限到无限的辩证思想及理论和实践相结合的原则，使他们学会做事。四、教学重点、难点教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的

3、分析及证明步骤．教学难点：数学归纳法中递推思想的理解．五、学法与教法学法：兴趣→观察→分析归纳→得到猜想结论教法：引导猜想探究式教学方法六、教学过程设计（一）知识回顾1、数学归纳法定义：一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果（1）当n取第一个值（例如=1，2等）时结论正确；（2）假设当n=k()时结论正确，证明当n=k+1时也结论也正确。那么，命题对于从开始的所有正整数n都成立。2、用数学归纳法证明命题的步骤为:（板书）①验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据.结论.3、探索

4、性问题在数学归纳法中的思维方式:观察,归纳,猜想,推理论证.4、特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化（二）应用范围：数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛。一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的同项及前n项的和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。(三）例题讲解分析：（ⅰ）这是一个探索性的问题，先由特殊情形猜想归纳出8∣．（ⅱ）在用数学归纳法进行证明的时候问学生第一步应做什么？本题的应取多少？然后让学生进行验证，以得到证明的基础．学

5、生验证后，教师规范板书，为学生示范。启发学生，认识到在证传递性时，已知什么，求证什么，启发学生理解，从而构造利用归纳假设条件。（ⅲ）启发学生应用归纳假设（即（ⅱ）中的已知）对上式进行推理变形，让学生进行推导，直到得到结论．解（1）当n=1时，；（让学生讨论，引导发现规律）当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，.（2）猜想：当（规范板书）①当n=1时，有②假设当n=k时，命题成立，即f(k)能被8整除，那么当n=k+1时，有这里和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除。又依归纳假设，f(k)能被8整除，所以f(k+1)能被8整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。根据（

6、1）和（2），可知命题对任何都成立。例2、（1）在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点。问：这n条直线将平面分成多少个部分？（学生思考）（2）把（1）中命题类比到空间有什么结论？（不要求证明）分析：首先把文字语言转化为数学语言，首先带入特殊值观察分析,进而猜想归纳出，再采用数学归纳法进行证明。解记n条直线把平面分成个部分，我们通过n=1，2，3，4，5，画出图形观察的情况，由此猜想接下来用数学归纳法证明这个猜想。（分析思路，关键板书利用归纳假设条件之步骤）（1）当n=1，2时，结论均成立。（2）假设当n=k时，结论成立，即，当n=k+1时，第k+1条直

7、线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以，结论也成立。根据（1）和（2），可知对，均有。（四）课堂练习平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点。证明：这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分（五）课堂小结1、数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法;2、用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范;3、两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设