[应用]《数学归纳法》教学设计

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1、“数学归纳法”教学设计山西省平遥中学李英【教学内容剖析】《数学归纳法》是人教版选修教材2-2第二章第三节内容，本节课是第一课吋。前面学生己经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得岀的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养

2、学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的索材。【教学目标确定】1、知识和技能(1)了解数学归纳法的原理；(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；(3)会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。在学习小培养学生探索发现问题、提岀问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。3•情感态度价值观和过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛

3、和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。【教学重点和难点】根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：(1)使学生理解数学归纳法的实质。(2)掌握数学归纳法证题步骤，尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤屮发现具体问题的递推关系.

4、因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设.如果不会运用“假设当n=k吋，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题:"（1）当n=no时，命题成立；（2）假设"=k时，命题成立，求证：当n=k+时命题成立”的证明，而H在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点.【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基

5、”与“归纳递推”结合起來，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤.另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果.【教学过程设计】一、问题导入1、思考题：已知数列仏｝满足Q严丄，且勺⑷我们已经计算22-色出①=2,5=°®=*，并由此猜想通项公式为色=亠（皿小），那么如何证明我345n+1们的猜想是正确的呢？分析：逐一验证是不可能的.那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明龙取所有正整数都成立”的问题.引出课题“这就是我们今天耍研究的一种特殊的直接证明方法—

6、—数学归纳法”.【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题的类型出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察一一归纳一一猜想一一证明”.2•休会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1：多米诺骨牌游戏的最大特点是什么？（牵一发而动全身）思考游戏2:摆放好多米诺骨牌，推倒第

7、2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程屮，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3:摆放好多米诺骨牌，存在一块骨牌倒卞后没有砸倒下一块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第R块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性.问题1:要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2:从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学

8、归纳法的第一步，即(1)证明当取第一个值〃=1时，命题成立.(归纳奠基)分析2：根据“假设某一块骨牌倒下，那么必定导致后一块骨牌倒下。”，抽象出数学归纳法的第二步，即(2)假设窗时命题成立,证明当n=k+l时命题也成立.(归纳递推)分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽彖出数学归纳法证明命