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1、平面向量辅导材料11.向量的物理背景与概念：①向量的概念：我们把既有大小又有方*向的量叫向量。（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。）练习：1.两个向量是否可以比较大小？2.有下列物理量：位移，路程，速度，速率，力，功，其中位移，力，速度都是o路程，速率，质量，密度，功都②向量的几何表示：由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。对于向量，我们常用带箭头的线段有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的
2、方向。③有向线段：带有方向的线段叫有向线段。（如图）我们在有向线段的终点处些箭头表示它的方向。以A为起点、B为终点的有向线段记作乔，起点写在终点的前面。已知而，线段AB的长度也叫做有向线段而的长度，记作④有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。）⑤向量的表示方法：几何表示：①用有向线段表示；字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：AB,CD；③用字母I、c等表示。练习：3.“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？2•向量的长度（或称模）:①向量乔的大小，也就是
3、向量乔的长度（或称模）：记作$耳。②零向量、单位向fi概念：长度为o的向量叫零向量，记作6。注意6与（）的区别（及书写方法）。长度等于1个单位的向量，叫单位向暈。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。练习：4.把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是3.平行向量、共线向量与相等向量平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定6与任一向量平行。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量平行，记作allba共线向量定义：平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行
4、向量都可移到同一直线上。说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.练习：5.关于零向量，下列说法中错误的是（）A零向量是没有方向的。B零向量的长度是0C零向量与任一向量平行。D零向量的方向是任意的。6.把平行于某一直线的一切向量平夥到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是o相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：（1〉向量d与Z相等，记作a=b；（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段來表示，并且与有向线段的起点无关。在平面
5、上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。练习：7.判断下列命题的真假：（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等。（）（2）向量。与/?平行，则Z?与d方向相同。（）（5）a与b平行同向，且a>b,则a>bo（（3）向量d与b平行，则b与。反向。）（4）两个有共同起点而长度相等的向量，其的终点必相同。（））（6）0方向不确定，故0不能与任意向量平行。（）（7）如果a-b,则a与b长度相等。（）（8）如果a=b,则a与方的方向相同。（）(9)若ai=b,则。与/?的方向相反。（）（10）若ai=b,
6、则与。与b的方向没有关系。（）(11)加力是平行四边形当且仅当AB=DCo（)（12）向量而与莎是共线向量，则力、B、C、/?四点必在一直线上。（）8.下列命题正确的是（A.已与b共线，b与c共线，则m与cB.B.向量a与b不共线，则a与D.有相同起点的两个非零向量不平行4.向量的加法：①三角形法则（"首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a与b.在平面内任取一点A,作~AB=a.~BC=b,则向量疋叫做。与b的和，记作a+b,即a+b=ABa-BC=AC9规定：a+0二0+aa9.化简：(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC；(3)AB+
7、DF+CD+BC+FA②平行四边形法则:练习：10.如图，O为正六边形ABCDEF的中心,（1）OA+OC=（2）BC+FE=（3）OA+FE=向量加法的交换律：a+b=b+a向量加法的结合律：（a+b）+c=o+（方+c）a+b
8、Wa+b
9、,当且仅当方向相同时取等号.练习：11.证明:\a-b\^a+b5.向量的减法：①与/长度相同、方向相反的向量。记作-°规定：零向量的相反向量仍是零向量，-(-础=&。任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+—a=O②减法的三角形法则：在平面内取一点0,作0A二a,AI3=b则BA
10、-a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量b,作出a-bA13.①当亍、b满足什么条件时，ci+b与力一方垂直？a—b?②当运、5满足什么条件时，a+b6.向量的数乘：它的长度与方向规定
