中华民国第四十八届中小学科学展览会作品说明书41324

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1、中華民國第四十八屆中小學科學展覽會作品說明書科別：數學科組別：高中組作品名稱：利用圖像↓→↑←↗Ú解數學問題關鍵詞：m×n方格表、環狀圖、圓柱圖編號：摘要我們的研究題目取材於一道澳洲AMC的考題，此考題探討如何將數字1~9填入一個3×3方格表的格子內後，可以使得相鄰兩數和有最少種不同的值。在本篇作品中我們將3×3方格表擴展到m×n方格表，研究如何將數字1~mn填入一個m×n方格表的格子內後，可以使得相鄰兩數和有最多種不同的值及最少種不同的值。除此之外，我們還進一步將方格表換成環狀圖與圓柱圖進行研究。對於m

2、×n方格表與環狀圖我們都已研究出了結果，然而對於圓柱圖我們目前只有研究到奇數行的部份，至於偶數行的部份還有待努力。-1-壹壹壹、壹、、、研究動機此篇作品的研究動機來自於以下的一個簡單問題：問題：：：在：在在在3×××3的方格表的格子內填入數字1~9。。。將每兩個有共同邊相接的格子內的數字。將每兩個有共同邊相接的格子內的數字相加，，，得到一個和，得到一個和。。。請問這些和最少有多少種不同的值。請問這些和最少有多少種不同的值？？？這個問題來自於2003年澳洲AMC高級卷考題第29題。老師建議我們嘗試找出如何將

3、數字1~mn填入任意一個m×n方格表格子內後，可以使得這些相鄰兩數和有最多不同的值及最少不同的值。貳貳貳、貳、、、研究目的藉由將數字1~9填入3×3方格表格子內，使得相鄰兩數和有最少種不同的值的解題過程中，摸索尋找出一種填入方式，使得能更進一步的由3×3方格表，推廣到任意m×n方格表，環狀圖與圓柱圖，使得相鄰兩數和有最多種不同的值及最少種不同的值。參參參、參、、、研究設備及器材紙、筆、電腦、excel軟體、word軟體肆肆肆、肆、、、研究過程一、(一)問題：將數字1~9填入3×3方格表格子內，使相鄰兩數和

4、有最少種不同的值。(二)範例：196547823橫列：1+9＝10；9+6＝15；5+4＝9；4+7＝11；8+2＝10；2+3＝5縱行：1+5＝6；5+8＝13；9+4＝13；4+2＝6；6+7＝13；7+3＝10相鄰兩數和有5、6、9、10、11、13、15共七種不同的值。(三)分析：在3×3方格表中，與正中央的位置相鄰的有上、下、左、右共四個。因此，將數字1~9填入3×3方格表格子內後，相鄰兩數和最少有四種不同的值，最多會有3×2＋3×2共十二種不同的值。對於上述範例所呈現的結果並非最少或最多的情形

5、。本篇文章中我們將先研究對於任意m×n方格表，將數字1~mn填入後，相鄰兩數和最少會有多少種不同的值？最多又能有多少種不同的值？其次，進一步延伸至環狀圖與圓柱圖。-2-二二二、二、、、m×××n(m≧≧≧3且且且n≧≧≧3)方格表相鄰兩數和和和有最和有最少少少種不同的值少種不同的值的填入方式：：：探討對於任意給定的m×n方格表，將數字1~mn填入m×n方格表後，使得相鄰兩數和有最少種不同的值。在我們的研究過程中，因為目前還沒有尋找到僅利用一種特定的填入方式，就可以適用在任意m×n方格表，使得相鄰兩數和有最

6、少種不同的值。因此，我們將m與n區分為偶數或奇數，分別就下列四種情形討論：(i)奇×奇(ii)奇×偶(iii)偶×奇(iv)偶×偶方格表。m×××n(奇數×××奇數×奇數，，，m≧≧≧3且且且n≧≧≧3)方格表相鄰兩數和和和最和最最最少少少少有四有四種不同的值。。。【【【說明【說明】】】(一一一)、、、填入、填入方式：：：將數字1~mn由小到大依下列方式依序填入方格表內：從左上角的位置A出發，依照由上而下↓↓↓且由左而右→→→的方式依序填入，且每填入一個數後需間隔一格才填入下一個數，直到填到右下角位置M後

7、〈如圖一〉，再依原來路線返回，由位置a填至左上角位置l為止〈如圖二〉。亦即將數字1、2、3、4、….依序填入A、B、C、D、…、M之位置後，再依原路線返回繼續將數字填入a、b、c、d、…、l之位置，合併圖一與圖二即為其最後結果。AFKDIBGLEJCHMAjFeK圖一lDgIbBiGdLjekEfJalgbChHcMidkfahc圖二(二二二)、、、範例：：：1144117相鄰兩數和：橫列15、181531269縱行16、1721351083×××5方格表表表1236181125420915相鄰兩數和：橫

8、列24、2922271712縱行26、27245191014321816135×××5方格表表表-3-定理一：：：m×××n(奇數×××奇數×奇數，，，m≧≧≧3且且且n≧≧≧3)方格表相鄰兩數和和和最和最最最少少少少不同的值為四種不同的值為四種。。。【【【證明【證明】】】若依上述填入方式將數字1~mn填入m×n(奇×奇)方格表後，可得到如下表的結果，觀察此方格表之相鄰兩數和的值可發現：(一一一)、、、在方格表任一行中，相鄰兩