2013-2014第一学期微积分第三次月考试卷参考答案

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1、北京交通大学2013-2014学年第一学期《微积分B》第三次月考试卷学院专业班级学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷!一、单项选择题（每小题2分，满分10分）1.若J°ae~^xdx=1,贝Ija=(C)(A)l(B)2（C）I（d）42.微分方程y〃=by满足条件十(0)=丄』(0)=1的解是(B)1212(A)—=—x+1(B)—=——x+1b3y23(C)丄兀二亠一1(D)-X=l--^3y23y23.微分方程y〃-y=『+1的一个特解应具有形式（D）4•使函数/3詡口

2、]一刊适合罗尔定理条件的区间是(a).34(A)[0,1](B)[-1,1](C)[-2,2](P)[--,-]5.设/Cx),gO)在兀o的某去心邻域内可导,gXx)H0且lim/(x)=limg(x)=0,•IT"。XT.*)则(/)lim竺=A与(II)lim厶凹=A关系是(B).'T心g(x)“-勺g(x)(A)(1)是(II)的充分但非必要条件(B)(1)是(II)的必要但非充分条件(C)(1)是(II)的充要条件(D)(1)不是(II)的充分条件，也不是必要条件二、填空题(每小题2分，满分10分)1.若广义积分匸乡收敛，则必有

3、p_

4、导数，在(a,b)内二阶可导，月/(q)=/(b)=fa)=0,证明在⑺")内至少存在点c,使厂(c)=0.证明:因/(Q在［d,b］上有连续导数=f(b)=0y.3分即/⑴在S,b］上满足罗尔定理的条件则至少存在兵⑺劝使厂©二0又r⑴在a勺连续在⑺,◎可导=广©=o8分即厂(兀)在S,勺上满足罗尔定理的条件则至少存在cw(d,®u(d,b)使/〃(c)=010分五、(满分10分)lnd+兀)当丫、_1*设/(兀)二x耳’在(-IE上连续，［A，当兀=0,求A值，并判定/©)在兀=0处的连续性.A二/(0)=lim/(x)二lim'n(

5、1+X)=12分xtOxtOx八尢）二]+兀_山仆+兀）二兀_（1+兀）111（1+兀）X2〒（]+兀）当兀=0时H0)=iim/(x)-/(0)=liJ(HxtO兀xtO兀2—I=lim—=——xto2x2因为帆八“）=帆生护=职册=4=八°）所以广（X）在兀=0处连续六、（满分10分）解方程卜〜占yr⑴心严1⑵4分6分8分10分⑴可化为：几示莉円=C++lnxx+1兀+1兀+1由初始条件（2）确定C=l,故得（5分）XX2X,y=H1lnx兀+1兀+1兀+1（10分）七、（满分10分）dv1求微分方程竺=——的通解。dxx+xy原方程

6、化为dxd?=y3x2（2分）dx"1（5分）y"解得:x-1C+(2-y2)e2（8分）即，xC+(2-y2)eT=1(10分)八、（满分10分）设函数y（x）有二阶连续导数3y（o）=--o试由方程2y(x)=1+(t)+6te~f]df确定y(x)。y(x)=-[-y，U)+6xe~Al,即3L（2分）y〃+3)/=6虻1/(o)=--，y(o)=i令yf-P(x),y〃二p‘，得p‘+3p=6xe~xr3"〃=)/二严3尢宀”+G3由/(o)=--,得g=0（6分）（10分）y=3壮一”一？厂2〉，=_3必一*—3广”+3广’+2

7、由y(0)=1,得C2=

8、厶35y=-3x^--^X+-22九、（满分10分）求微分方程y〃+4y=3sin兀的一条积分曲线，使其与曲线y=tan3x相切于原点。方程的通解为y=C]cos2兀+C2sin2兀+sin兀（4分）由已知得初始条件y（0）=0,y'（0）=3,代入上式得Cj=0,C2=1（8分）故所求积分曲线的方程为y=sin2x+sinx（10分）十、（满分10分）设有一质量为加的物体，在距离地面为力的高度由静止开始下落。如果空气阻力与物体运动的速度成正比，比例系数为k（k>0）,求物体下落的距离与时间的关系。设/时刻物体下

9、落的距离为S（/）,由牛顿第二定律d2S,dSm———=mg-kd厂「且（4分）S（0）=0$（0）=0方程的通解为S=C]+C2em代入初始条件得C

10、故物体下落的距离与时间的关系为c=m~8