第3讲 空间计算

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1、实用文案第三讲空间计算教学目标1、异面直线之间的夹角；2、线面之间的夹角；3、线面之间的距离；4、面面之间的夹角；5、面面之间的距离；教学重点异面直线之间的夹角的求法。教学难点等价问题的相互转化、以及辅助线作法。教学方法建议1、师生的共同讨论与讲授法相结合；2、让学生在学习过程不断归纳整理所学知识，通过认识空间图形，培养和发展学生的几何观察能力、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力；3、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出线、面位置关系的概念；4、采用课件与实物演示的方法，加深学生的理解，让学生养成利用现有的物品如笔，书等，对结论进行验证的习惯；

2、5、进一步培养学生空间问题平面化的思想。选材程度及数量课堂精讲例题课堂训练题课后作业A类（3）道（2）道（7）道B类（4）道（2）道（10）道C类（3）道（2）道（8）道一、知识梳理要点一、异面直线间的夹角1、角的定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）；2、作法：所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；3、夹角范围：异面直线所成的角的范围为；如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作；4、求解步骤：求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算。标准文档实用文案ab

3、αc要点二、线面之间的夹角1、角的定义：已知直线a与平面α相交，设a在平面内的射影为，那么与之间的夹角，称之为线面角；2、规定：如果一条直线与一个平面垂直，就说线面角为90o；如果一条直线与平面平行或在这个平面内，就说线面角为0o；3、实质：线面角→线线角；4、范围：；5、作法：找到斜线，再找射影，那么斜线与射影的夹角，就是线面角；6、图形表示为：anPbα要点三、线面之间的距离1、定义：如果一条直线与一个平面平行，那么这条线上的任意点到这个平面的距离均相等，这个距离也就是这条直线与其在平面上的射影之间的距离；2、问题转化：线面距离→线线距离→点线距离；3、作法：QPba标准文档实用

4、文案α要点四、面面之间的夹角1、定义：若两个平面A、B相交于直线l，在直线l上任取一点P，过点P分别在两个平面内引直线l的两条垂线分别是l1、l2，则l1与l2的夹角就是平面A、B的平面角；2、范围：；3、求法：定义法；三垂线定理法；4、图形表示为：Pl2l1llBA要点五、面面之间的距离1、定义：如果两个平面A、B平行，那么有A上的任意一点P到平面B的距离就是A、B之间的距离；2、问题转化：面面距离→线面距离→线线距离→点线距离；3、图示表示为：二、例题精讲【例题1】、【题目】：已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有()

5、A.1条B.2条标准文档实用文案C.3条D.4条【难度分级】：A类【选题意图】（对应知识点）：异面直线的夹角【解题思路】：仔细阅读，展开空间想象【解法与答案】：B【解析】：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°。记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线．过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B。【例题2】、【题目】：如图所示，正方体ABCD—A1

6、B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小。【难度分级】：B类【选题意图】（对应知识点）：异面直线的夹角【解题思路】：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易。【解法与答案】：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角。∵∠CC1D=45°∴AB1和CC1所成的角是45°标准文档实用文案（2）如图，连结DA1、A1C1，∵

7、EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.【解析】：解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路。【例题3】、【题目】：正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线与CN所成的角是（）.A．30°B．90°C．45°D．60°【难度分级】：A类【选题意图】（对应知识点）：异面直线的夹角【解题思