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1、解直角三角形情境切入学海导航完全解读知能点1、解直家三角形在直角三角形中，除直角外，由已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。友情提醒：（1）除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素。（2）解直角三角形所用的关系式如图，在Rt△ABC中，除直角C外，其余5个元素之间存在如下关系：①三边间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)②两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°③边角之间的关系：（3）解直角三角形的关键在于灵活地选择上面的关系式，快捷地沟通未知和已知
2、元素。例1、（1）在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c是△ABC的三边,a=6,∠B=30°，求∠A,b,c.（2）在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=5,b=,求c,∠A,∠B.思维点击：（1）∵∠A+∠B=90°,∴∠A=90°-∠B=60°；已知a和∠B,a是∠B的邻边,b是∠B的对边,求b可选用∠B的正切.（2）求c可以运用勾股定理，求∠A可用∠A的正切函数，求出∠A后，∠B易求。解：∠A+∠B=90°,∠A=90°-∠B=60°。∵，∴。又∵，∴，∴∠A=60°，，.②∵c2=a
3、2+b2=52+(5)2=25+75=100，∴c=10。∵，∴∠A=30°。∵∠B=90°-A=60°，∴∠A=30°，∠B=60°，c=10。温馨提示：根据题目中的已知条件，灵活选用关系式是解题关键。知能点2、解直角三角形的类型和解法友情提醒：（1）在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某一个三角函数；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知元素的途径往往不惟一。选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的
4、关系式，若能用乘法计算就避免除法计算。（2）对于含有非基本元素的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本元素转化为基本元素，或由基本元素间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本元素，最终达到解直角三角形的目的。（3）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形
5、的方法，实现问题的有机转化。思维点击：△ABC不是直角三角形，结合已知条件，可作AD⊥BC于D，构造出两个直角三角形：Rt△ABD和Rt△ADC，而后求解.知能点3、解直角三角形的应用用解直角三角形的知识可以求实际问题中的角的度数或要测量的距离、高度、深度等．解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，可以概括为以下几个方面：度量工作、工程建筑、则量距离等．要解决这些问题，首先要弄清仰角、坡度等名词术语的意义，其次要掌握解决这类问题的一般步骤．首先应该掌握如下几个有关名词、术语．（1）仰角与俯角在进行测量时
6、，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．如下图所示.注意：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角．即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．（2）坡度（或坡比）的定义如图，通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），斜坡的坡度和坡角的正切有如下关系：.坡角是坡面与水平面的夹角，它与坡度是两个不同的概念，但又有着密切的联系，即坡度足坡角的正切，坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡.（3）方向角如图所示，在平面上过观测点O，画一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点O出发的视线与
7、铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O的方向角（或称为象限角），例如，图中点A的方向角为北偏东30°，点B的方向角为南偏西45°（或称为西南方向）.注意：①方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏（东、西）；②观测点不同，所得的方向角不同（如上图所示，从点O出发观测点A的方向角为北偏东30°，而从点A观测点O的方向角为南偏西30°），但各个观测点的南北方向线是互相平行的.其次，应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤是：①弄清题中名词、术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型．②将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元
8、素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形．③寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．注意：（1）实际问题数学化是常用的、行之有效的解决方案，在生活中注意此类问题会
