中华民国第四十七届中小学科学展览会作品明书41376

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1、中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書國中組數學科佳作030421廣義的畢氏定理探討學校名稱：基隆市立中正國民中學作者：指導老師：國三陳揚叡陳政暉國二朱哲民林耀南國二黃君皓國二林文毅關鍵詞：銳角△的畢氏定理鈍角△的畢氏定理廣義的畢氏定理壹、摘要：數學刊物從勾股定理談起以長方體的架構，長x、寬y、高z，對角線w的概念去討論x2+y2+z2=w2的畢氏數解，本文發現他遺漏了非常多組解。本文作者改以廣義的畢氏定理從平面幾何的概念找出所有畢氏數解。傳統的畢氏定理只能在直角△上才能使用，本文探討一種廣義的

2、畢氏定理，它適用於任何一種△(包括銳角△、鈍角△、直角△)，這種創新的廣義畢氏定理的靈感來自於直角△中的母子定理所使用的直角△，這種子△和原直角△的三邊依序垂直，銳角△和鈍角△中仍然存在著這種依序和原三角形三邊垂直的子△，文章中透過借用直角△推導畢氏定理相同手法去推導銳角△及鈍角△的畢氏定理，這樣的廣義的畢氏定理型如x2+y2+z2=a2，(其中a代表△任一邊的長，x和z落在另兩邊上，而y長的線段和a長的線段平行)。在廣義的畢氏定理條件下，本文探討了正△、等腰△、直角△、銳角△、鈍角△的畢氏數，並找出

3、了那些被遺漏的解，接著解開了四元二次不定方程x2+y2+z2=w2的所有畢氏數解。貳、研究動機：2222在一般數學刊物中談到勾股數問題的推廣時，總是把x+y+z=w中的x、y、z分別當成長方體中的長、寬、高，來作比喻，也因為受限於這個概念，我們在一本刊物從勾2222股定理談起中看到他的一般解為x=mn、y=m+mn、z=mn+n、w=m+mn+n，其中m、n表任意正整數，可是有一位同學很快的發現(12、15、16、25)這一組解並不在裡面，陸陸續續也有一些其他解被發現不在裡面，老師說可能作者誤以為以長

4、、寬、高討論可以涵蓋全部的解，也許我們應該回到平面的概念重新來考慮它的所有解。老師說在平面222幾何上a、b、c可以想像成正方形的面積，所以有圖(A)的現象。而這是由斜邊的觀點來看，反應快的小朱立刻插上一句，站在一股的觀點來看，是不是也有類似的畢氏定理呢？22222對於小朱的說法，大部分同學都說，把b移項到c那邊去不就成了，(如a=c-b)，可是小朱說那就沒意思了，應該說是要像圖(B)那樣，在股與斜邊之間搭一座橋y，使2222x+y+z=a比較有意思，老師誇獎地說，這等於是把立體的概念解平面化了，也許

5、你們可以把直角△的畢氏定理推廣到銳角△或鈍角△去呢！大夥兒聽了後躍躍欲試，很想找出答案。丙丙丙c乙乙乙b圖(A)甲甲甲a1乙乙乙甲甲甲c丙丙丙ybxz丁丁丁圖(B)a参、研究目的：一、探討銳角△的畢氏定理。二、探討鈍角△的畢氏定理。三、探討完整的廣義的畢氏定理。四、利用廣義的畢氏定理探討各種特殊△的畢氏定理的速畫法及其畢氏數。2222五、探討四元二次不定方程x+y+z=w非負的完全畢氏數解。肆、研究過程：一、理論探討：(一)、檢視畢氏定理的證明在相似△的課程中，介紹了一種畢氏定理的證明法，首先從直角△

6、的直角頂A，畫一垂直線AD⊥BC，如圖(1)A2由△ABD～△ABC得BA=BD×BC……○12由△CAD～△CAB得CA=CD×CB……○2BC22D將○1、○2式相加得BA+CA=BD×BC+CD×CB圖(1)=(BD+CD)×BC=BC×BC2=BC簡單扼要的導出了畢氏定理，如圖(1)，這完全歸功於直角△中這兩個相似子△(△ABD及△ACD)處在那麼恰當的位置所致，但銳角△中有這種現象嗎？我們好奇的是銳角△或鈍角△中還有這些子△嗎？它們要如何畫出來？回頭檢查圖(1)中兩個子△，若∠BAC被壓縮而

7、小於90°時，那兩個子△(△DAB、△DAC)2會被擠壓到哪裡去呢，我們猜想AD可能會拆開成A'D'及A''D''並維持△A'D'B～△ABC及△A''D''C～△ABC，並且與圖(1)比較，∠A'D'B=∠A，∠A''D''C=∠A，∠BA'D'=∠C，∠CA''D''=∠B。根據這些資料，我們試畫了很多遍，如圖(2-1)、(2-2)、(2-3)：AAAA''A'A'A''A'A''BCBBCD''D'CD''D'D'D''圖(2-1)圖(2-2)圖(2-3)從上面三個猜想圖中，我們懷疑，在銳角△中

8、應該會有第三個子△，也許是△AA'A''吧。觀察圖(1)的直角△，它有兩個子△，如△ABD和△ACD，但在圖(3)中另一種子△也有可能是△BDF，△CDE和△AEF等，不論是哪一組可能的子△候選者，我們在圖(3)中都可以發現到D、E、F這三點應該是所謂的關鍵點，而這三個點在直角△中偏偏非常容易找到，首先從直角A點畫出斜邊上的高AD，再分別從D點往兩股方向畫出垂線，即可馬上找到E和F點，因而快速地找到那些子△。在第一組候選者△ABD與△ACD中，我們發現利