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1、一、知识概要(-)考纲要求掌握点点、点线、点面、线线、线面、面面距离的定义,熟练掌握各种距离的求法,其中重点为点到面的距离。(二)空间中的距离①点与点的距离(平面两点距离公式、空间两点距离公式)②点到直线的距离(一般在直线与圆版块中出现)③点到平面的距离:从平面外一点向平面引垂线,点到垂足间的线段的长度。(重点)④异面直线间的距离:两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的垂线段的长度。⑤直线与平面间的距离:如果直线和平面平行,从直线上任意一点向平面引垂线,垂线段的长度。⑥两平行平面间的距离:夹在两个平行平面间的垂线段的长度。二、考点透视(―)异面直线
2、间的距离(线线距离)【例1】如图,在正三棱锥P-ABC侧棱长为3,底面边长为2,E是BC中点,EF丄PA。(1)求证:EF是异面直线PA与BC的公垂线段;P(2)求异面直线PA与的距离。F【解】(1)连结PE,AE,则在等腰APBC和等边MBC中,PE丄BC,AE丄BC,又PE与AE交于点、E,rA故BC丄面PEA,而EF在平面PEA中,E故BC丄EF,又EF丄PA,即证!B(2)在APE4中,PE=2近,AE=品,PA=3,则cosZFAE=—nsinZFAE=—,故EF=sinZFAE•AE=—993【例2】正方体ABCD-A^C^的棱长为1,求异面
3、直线AG与ABJ可的距离。(使用向量法)【解】建立如图空间直角坐标系,则A(l,0,0),A(l,0,l),B,(1,1,1),C.(0,1,1)_——qGAB=(0,l,l),4C=(-1J,O),A3=(0丄0)_____AB,设m丄AB},m丄人(7「且加二(Q,b,c)[m•AB,=0[—a+方=0—贝叫L,即补八,取Q=l,则m=(l,l,-l)=oV+c=o故异面直线AG与a妨间的距离d=⑷•△即=—
4、m
5、3B【小结】异面直线间的距离求法:(1)几何法:①找公垂线;②利用三角形求公垂线长度。(2)向量法:B‘•.—♦I4BI—♦—♦异面直线d
6、"之间的距离d=
7、AB
8、•
9、cos=—————,其中加丄彳加丄b.Aea.Beb丨加I(二)点到平面的距离(重点)【例3】如图,弧AEC是半径为1的半圆,AC为直径,点E为弧AC的屮点,点B和点C为线段AD的F三等分点,平TSAEC外一点F满足FC丄平面BED,FB=・(1)证明:EB丄FD(2)求点B到平面FED的距离.【解】(1)•・•点E为弧4C的中点,・・・ZABE=90°,即EB丄AC又vFC丄平面BED,BEu平面BED,FC丄BE又・・FC,ACu平面FBD,FC^AC=C・・・EB丄平面FED,则EB丄FD(2)FC=^BF2
10、-BC14^=2,SRi^EBD4B£BD4x1x2=1在RtFBE中,FE=ylBE2+BF1=^6,祇于FD=ED=>5・•・S、fde=^FE-/?F£=^xV6x由等体积法可知:Vb_fed=^F-BDE'即§%Sr问de*FC=—XS^FD£X力,则力=——【例4】如图,在直三棱柱ABC—A4G中,ZBAC=9QAB=AC=AA]=l,D是棱CC】上的一点,P是AD的延长线与AG的延长线的交点,且卩冋〃平面(1)求证:CD=C}D;(2)求二面角A-A.D-B的平面角的余弦值;(1)求点C到平面冋DP的距离。(用向量法)【解】(1)建立如图
11、空间直角坐标系人-勺迄,则A(0,0,0),B,(1,0,0),C,(0,1,0),5(1,0,1),设C}D=x©P5则苦二帶Y由此可得D(0丄兀),P(0,l+——,0)1-X■Y•••人3=(1,0」),人£=(0丄兀)・S,P=(-U+——,0)1-x设平面BA、D的一个法向量为m=(d,b,c)-AB=0仏+c二0,i—贝叫一_,叫,J令c=-l,则m=(1^,-1)[/??•>4,0=0V+cx=0一x•••PB〃平而=—l+x・(l+——)+0=01-x由此可得%=-,故CD=C,D21一1(2)由(1)知,平面BA.D的一个法向量m=(
12、l-,-l)2乂n=(1,0,0)为平面AD的一个法向量一一n?•H22••・C°S™丽乜’故二面角A一佔"的平面角的余弦值为-。(3)•••"]=(1厂2,0),PD=(0,-1,-),设平面BQP的一个法向量h=(x,”z)x-2y=0_即4z;令z=l,可得A=(l-,1);又DC=(0,0,-)一〉,+_=0222・・・C到平面B、DP的距离d=
13、反
14、・cosv反加>=DC-h_1h~3【小结】点到面的距离求法:(1)等体积法:利用体积法求点面距离关键是寻找到合适的四面体。(2)向量法:—►一IA.B-tnI—*点A到面a的距离d=
15、A
16、B
17、•
18、cos=——二——,其中Bea,m是平面a的法向量。丨阳(三