实验七 多元函数极大值

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1、实验七　多元函数的极值【实验目的】1．多元函数偏导数的求法。2．多元函数自由极值的求法3．多元函数条件极值的求法.4．学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数的极值点和极值【实验准备】1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数步骤2.求解方程,得到驻点步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数步骤4.对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值,为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断;如果,则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值6设函数在有

2、界区域上连续，则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1.计算在内所有驻点处的函数值；步骤2.计算在的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3.将上述各函数值进行比较，最终确定出在内的最大值和最小值。3．函数求偏导数的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函数的偏导数diff(f,x,n)求函数f关于自变量x的n阶导数。可以用helpdiff查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数>>clear;symsxy;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>

3、>diff(z,y)结果为ans=4*x^3-8*y6ans=-8*x+4*y即再求解方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解方程的MATLAB代码为：>>clear;>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：>>clear;symsxy;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>

4、C=diff(z,y,2)结果为A=2*x^2B=-8C=4由判别法可知和都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，和是函数的最小值点。练习２求函数在条件下的极值..构造Lagrange函数6求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数>>clear;symsxyk>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,k)得再解此方程组。>>clear;symsxyk>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函

5、数达到最大值.注意;也可以利用Lingo：model:max=x1*x2;x1+x2=1;end更值得一提的是对此种问题我们一般不用Lingo，因为Lingo中已规定所有决策变量均为非负。练习3抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.6这个问题实际上就是求函数在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数>>clear;symsxyzuv>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff

6、(l,u)>>diff(l,v)得再解方程>>clear;>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u',6'v')得上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集，上连续，从而存在最大值与最小值），故由求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为，最短距离为。【作业】1.求的极值。2.求函数在圆周的最大值和最小值。3.在球面求出与点(3,1,-

7、1)距离最近和最远点。6