11第十一讲联赛真题学生版

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1、第十一讲数论复习©例题精讲【例1】（1999年第3题）对于正整数n,已知用克数都是正整数的k块耘码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…，n克的所有物品.（1）求k的最小值f（n）;（2）当且仅当n取什么值吋，上述f（n）块祛码的组成方式是唯一确定的？证明你的结论.【例2】（2001年第3题）将边长为正整数m,n的矩形划分为若T个边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长Z和的最小值.【例3】（2003年第2题）设三角形的三边长分别是整数口l>m>n,已知其中[x

2、}=x-[x],求这种三角形周长的最小值.【例4】(2008年B卷第2题)求满足下列关系式组

3、x2+/=2?,[zvy5z+50,的正整数解组(x,y,z)的个数.【例5】(CM02009年笫2题)求所有的素数对(p,q),使得/勺15卩+5".【例6】(CMOI991)求所有自然数n,使得^+[^=1999【例7](CM02000)若对正整数n,存在k,使得n=naw5••傀=z斡宀知亠畑7】_丄其中n”

4、)设多项式序列｛代(x)｝满足Px=x2-1,^(x)=2x(x2-1),且巳+1(讥1⑴=(片(功2_(兀2_1)2,=2,3,••设片为巳(兀)各项系数的绝对值之和.对于任意正整数n,求非负整数心，使得2*片为奇数.【例9](CM02004)证明：除了有限个正整数外，其他的正整数n均可表示为2004个正整数之和n=a}+勺+…+。2004，且满足：l

5、<«2V…<。2驱，®I®+1O=1，2,...,2（）（）3）【例10】・d为给定的一个整数，当d为何值时，方程），+1=°（小-1）有正整

6、数解？有正整数解时，求这个不定方程。©大显身手练习1.（第7届CGMO第8题）对于正整数n,令/,=[2W>/2008]+[2W^2008].求证数列.齐，厶，・••中有无穷多个奇数和无穷多个偶数.练习2.在世界杯足球前，F国教练为了考察人、仏、4、儿、人、人、出这七员队员，准备让他们在三场训练比赛中都上场（每场90分钟）；假定在比赛的任何时刻，这些队员中冇且仅冇一人在场上，RAP企、九、儿每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被7整除，心、人、％每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被13整除；如果每

7、场换人次数有限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况？练习3.（第8届CWMO第3题）设整数m>2,即吆…,％都是正整数•证明：存在无穷多个正整数n,使得〃T工色都是合数.ft=1练习4.求所有的素数对（〃,g）,使得pqI7〃+7".【提示：参考例5的解法】练习5.（1978年第20届IMO试题A1）数1978*1与1978"的最后三位数相等，试求出正整数n和m,使得m+n取最小值，这里n>m21・练习6.（第5届CGM0第8题）设p为大于3的质数，求证：存在若T个整数^，勺,…,

8、®满足条件ppVQ]VV…VgV—,2I〜‘2使得乘积P_£P~^2P一%q5a（是3的某个正整数次幕.练习7.（2007年国家集训队第6次测试）考虑一个7x7的数表勺=（z2+J）（z+尸）,1

9、在正整数72,满足〃（/7）+0（M）=M+C,并且对这样的而每一个C,求出所有满足上式的正整数【提示：c只能是0或者1】练习9.（CM01993）设几是奇数,试证明存在加个整数q卫2，…,%%筠,…乞,使得对于任意一个整数0vk.下列％个数©+%,q+勺,勺+»&=l,2y,其中an+j=arbn+j=巧）被％除吋余数互不相同.练习10.（CM02003）求所有满足a>2,m>2的三元正整数@,〃m）,使得。"+203是。"+1的倍数【提示：考虑m,n的大小关系分情况讨论】