高中数学导引

《高中数学导引》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高中數學導引劉珈銘§解析幾何除了古典幾何的方法之外，建立座標系也是解決幾何問題的一種方法。舉例來說，範例如果四邊形ABCD為平行四邊形。試證明22222AB+2BC=AC+BD如果透過古典幾何，本問題可能需要畫輔助線等等。其構思需要較複雜的方式，然而，透過建立座標系，本問題可以使用代數的方法解決。D(a,c)C(a,b+c)A(0,0)B(0,b)22222222222那麼AB=b，BC=a+c，AC=a+(b+c)，BD=a+(b−c)則222222AB+2BC=2a+2b+2c，且222222222AC+BD=a+(b+c)+a+(b−c)=2a+2b+2c。因

2、此這兩個式子相等，所以得到我們所要的。範例另外一個經典的例子是尤拉線，何謂尤拉線?外心垂心重心共線，此線為尤拉線。本題的證明也是利用解析幾何的方法。⎛a+bc⎞假設:A(a,0),B(b,0),C(0,c)，那麼重心G的位置在G=⎜,⎟。由於⎝33⎠CO⊥AB，所以垂心位置在此線上，我們可假設垂心H在(0,h)上。這時候我們需要斜率的概念，如果給兩點P(x,y),Q(x,y)，則兩點連線的斜率定義為11221y−y21m=,PQx−x21如果直線L,L'的斜率為m,m'，則m×m'=−1。(給你自己練習)。C(0,c)H(0,h)P(x,y)G(a+b/3,c/3)

3、O(0,0)B(b,0)A(a,0)hchc以本題來說，m=−，m=−，AH⊥BC，m×m=−×−=−1則AHaBCbAHBCababh=−。c最後設外心為P(x,y)，由於PA=PB=PC可知2222⎧(x−a)+y=(x−b)+y⎨,2222⎩(x−a)+y=x+(y−c)2a+bab+c所以x=，y=。所以通過H,G的直線方程式可假設為(任給出兩點22c22c+3abab⎛a+bab+c⎞均可求出直線)y=x−。把點P⎜,⎟帶入此直線，則⎜⎟(a+b)cc⎝22c⎠22ab+cc+3aba+bab=×−.2c(a+b)c2c所以P點通過此直線，因此三點共線。命

4、題如果直線L,L'的斜率為m,m'，則m×m'=−1。此題也可以透過建立座標系的方法來證明。重點在古典幾何學中，最重要的概念是商高定理。任意的兩點P,Q其距離由商高定理所決定。2§數範例如果正整數x,y,z滿足下列關係：222x+y=z試證明，x,y不能同為奇數。此問題的證明非常簡單，我們僅須思考，如果x,y同時為奇數時會發生甚麼樣的情況?假設x=2k+1,y=2m+1，則z=2n為一偶數。因此22222x+y=4(k+m+k+m)+2=4n。然而這些k,n,m均為正整數，我們發現上列不等式不可能存在。於是我們証明了x,y不能同為奇數。符號如果整數d為整數n的因數，

5、我們記d

6、n。任給兩個整數m,n我們記(m,n)為兩數的最大公因數，記[m,n]為最小公倍數。如果d

7、m且d

8、n，則我們可以找到兩整數k,l使得m=dk,n=dl，於是對任意的整數u,v我們發現mu+nv=d(ku+lv)因此d

9、nu+nv，我們得到了一個很重要的定理:定理如果d

10、m且d

11、n對任意的整數u,v我們發現d

12、nu+nv課堂練習2如果p為一質數，n為一整數，且p

13、n，則p

14、n。透過上述的練習我們可以得到下列的定理：定理如果(u,v)=1，則(u±v,uv)=1證明:假設p為一質數滿足p

15、u+v,p

16、uv則2p

17、u(u+v)−uv=u利用上述練習可知p

18、u，

19、同理可證p

20、v，因此p

21、(u,v)=1，但p為一質數p>1，p

22、1是不可能發生的。所以並不存在質數p滿足條件假設，因此u+v,uv的最大公因數為1。範例證明2為無理數。q22證明:假設2=為有理數，並且假設此兩整數p,q互質。則2p=q，於是此p322問題變成為找出2x=y的正整數解的問題。p,q為此方程式的整數解，則22222

23、q，從上述練習可知2

24、q於是假設q=2q，則p=2q可知2

25、p，所以2

26、p。11但是(p,q)=1，所以，假設不成立。算術基本定理所有的正整數n均可分解為一些質數次方的乘積。也就是說，存在質數p<...

27、1....pnk。且這樣的分解是唯一的。1k1k1k算術基本定理確定了整數的基本性質，以此我們可以利用因式分解解決很多的問題。舉例來說:範例2如果4a+17為一正整數，是求出所有滿足此式的正整數a。解:假設此正整數為n則22(n−2a)(n+2a)=n−4a=17.⎧n−2a=1則⎨。因此2n=18⇒n=9⇒a=4。⎩n+2a=17範例2如果y=xz，且x,y,z為正整數，(x,z)=1則x,z均為平方數。解:請詳見於課堂之中。定理222如果x,y,z為滿足x+y=z的正整數，且2

28、y。則存在三正整數m,n,d使2222得:x=d(m−n),y=d()2mn,z