历年自主招生考试数学试题大全-2013年北约自主招生数学---精校Word版含答案

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1、www.ks5u.com2013年北约自主招生数学试题（时间90分钟，满分120分）1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？A．2B．3C．5D．6解析：显然，多项式f（x）=（x2-2）［（1-x）3-2］的系数均为有理数，且有两根分别为和，于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e，其两根分别为和，其中a，b，c，d，e不全为0，则：[即方程组：，有非0有理数解。由（1）+（3）得：（6）由（6）+（2）得：（7）由（6）+（4）得：（8）由（7）（5）得：代

2、入（7）、（8）得：代入（1）、（2）知：于是知，与不全为0矛盾。所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和.-6-综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5．2．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A．720B．20C．518400D．14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择．最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后

3、，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法．3．已知，求的值．A．10B．12C．14D．16解析：根据条件知：由两式相减得故或（1）若，则，解得．于是知或．当时，．当时，．（2）若，则根据条件知：，于是，进而知-6-．于是知：．综上所述知，的值为或．4．数列满足，前项和为，求．A．3019´22012B．3019´22013C．3018´22012D．无法确定对，两边同除以，有，即．令，则，，于是知．所以．于是知：．故选项A正确。5．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由．A．BM+CN>MNB．MN+CN

4、N=MND．无法确定解析：如图，延长到，使得，连接．易知，所以．又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以．所以．故选项A正确。-6-6．模长为1的复数，满足，求的模长．A．-1/2B．1C．2D．无法确定解析：根据公式知，．于是知：．所以的模长为1．7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数．解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型．首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类．否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数．所以三类数中，最多能取到两类．其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个．否则

5、，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为，则，不可能为素数．所以每类数最多只能取两个．结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件．另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件．-6-综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数．8．已知，满足，且，求证：．解析：根据条件知：，（1）另一方面，令，则中每个数或为，或为．设其中有个，个，则：（2）由（1）、（2）知：（3）而为奇数，不可能为0，所以．于是知：．从而知：，即得．同理可知：．命题得证．9．对任意的，求的值．10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作-6-，使得数阵中的每

6、一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有．现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有．试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由．解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中．若存在一组．令，其中，．则当时，都有．也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾．所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的．-6-