历年自主招生考试数学试题大全-2013年北约自主招生数学---精校Word版含答案

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1、www.ks5u.com2013年北约自主招生数学试题(时间90分钟,满分120分)1.以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?A.2B.3C.5D.6解析:显然,多项式f(x)=(x2-2)[(1-x)3-2]的系数均为有理数,且有两根分别为和,于是知,以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,其两根分别为和,其中a,b,c,d,e不全为0,则:[即方程组:,有非0有理数解。由(1)+(3)得:(6)由(6)+(2)得:(7)由(6)+(4)得:(8)由(7)(5)得:代

2、入(7)、(8)得:代入(1)、(2)知:于是知,与不全为0矛盾。所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式,其两根分别为和.-6-综上所述知,以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2.在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法?A.720B.20C.518400D.14400解析:先从6行中选取3行停放红色车,有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择;最上面一行的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有5种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后

3、,黑色车的位置有3!=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.3.已知,求的值.A.10B.12C.14D.16解析:根据条件知:由两式相减得故或(1)若,则,解得.于是知或.当时,.当时,.(2)若,则根据条件知:,于是,进而知-6-.于是知:.综上所述知,的值为或.4.数列满足,前项和为,求.A.3019´22012B.3019´22013C.3018´22012D.无法确定对,两边同除以,有,即.令,则,,于是知.所以.于是知:.故选项A正确。5.如图,中,为边上中线,分别的角平分线,试比较与的大小关系,并说明理由.A.BM+CN>MNB.MN+CN

4、N=MND.无法确定解析:如图,延长到,使得,连接.易知,所以.又因为分别为的角平分线,所以,知为线段的垂直平分线,所以.所以.故选项A正确。-6-6.模长为1的复数,满足,求的模长.A.-1/2B.1C.2D.无法确定解析:根据公式知,.于是知:.所以的模长为1.7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数.解析:所有正整数按取模3可分为三类:型、型、型.首先,我们可以证明,所取的数最多只能取到两类.否则,若三类数都有取到,设所取型数为,型数为,型数为,则,不可能为素数.所以三类数中,最多能取到两类.其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则

5、,若某一类型的数至少取到三个,设其中三个分别为,则,不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条,我们知道最多只能取个数,才有可能满足题设条件.另一方面,设所取的四个数为1、7、5、11,即满足题设条件.-6-综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.8.已知,满足,且,求证:.解析:根据条件知:,(1)另一方面,令,则中每个数或为,或为.设其中有个,个,则:(2)由(1)、(2)知:(3)而为奇数,不可能为0,所以.于是知:.从而知:,即得.同理可知:.命题得证.9.对任意的,求的值.10.已知有个实数,排列成阶数阵,记作-6-,使得数阵中的每

6、一行从左到右都是递增的,即对任意的,当时,都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作,即对任意的,当时,都有.试判断中每一行的个数的大小关系,并说明理由.解析:数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,理由如下:显然,我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意,都有,其中.若存在一组.令,其中,.则当时,都有.也即在中,至少有个数小于,也即在数阵的第列中,至少排在第行,与排在第行矛盾.所以对于任意,都有,即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.-6-

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