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1、n阶幻方的同心方阵构造法 本文根据n阶幻方的定义，首先利用线性方程组的理论证明了：利用同心方阵的办法可以构造出任意阶幻方，进而结合幻方的特点，给出了n阶幻方的具体构造方法． 一 同心方阵构造法定义；将自然数1,2,3…n2排成n行n列的方阵，若每行每列及每条对角线上的n个数字的和皆为常数，称这样的n阶方阵为n阶幻方．这个常数称为幻方常数．同心方阵构造法是一种递推的方法．假定n阶幻方已经做出，就依n阶幻方为基础，在四周加上一层框子，即在第一行的上边，在第n行的下边，各加上一行，在第一列的左边，在第n列的右边，各加上一列．构造出一个n+2阶方阵，新的n+2阶
2、幻方的中间部分是一个n阶幻方，它是由原来的幻方的各元素分别加上2n+2形成的．n+2阶幻方的外围部分（即第一行，第n+2行，第一列，第n+2列所形成的正方形框子）是由数1,2,3,…中的前2n+2个数，及后2n+2个数，按照下述要求构成的（1）使正方形各边上的n+2而数的和等于n+2阶的幻方常数k.(2)使正方形上下两边，左右两边相对元素的和，及对角线两顶点元素的和都等于．这样构成的n+2阶幻方的方法称为同心方阵构造法容易证明二阶幻方是不存在的．三阶幻方容易做出，四阶阶幻方见［1］．我们以三阶，四阶幻方为基础，根据本文所给出的方法，可以构造出任意阶幻方．
3、二 同心方阵构造法的理论基础根据同心方阵构造法得到以下4n+4个未知数2n+6个线性方程构成的线性方程组（令）-8-(其中K为幻方常数)这个线性方程组与常数项组成的增广矩阵如下：利用线性代数的知识，用矩阵的初等变换，将其化简（具体化简过程从略）成如下形式：-8- 由上面的矩阵可以看出；系数矩阵与增广矩阵的秩相等，可知线性方程组有解．这就证明了同心方阵构造法的可行性．同时还可以得到线性方程组的一般解．从而可知；这4n+4个未知数，其中2n+4个可由其它2n个变量线性表出．即线性方程组中有2n个自由未知量．这些自由未知量可以从数列1,2,…,中的前面2n+2个数，或从后
4、面2n+2个数中选定．便可以由以上公式确定线性方程组的解．这就完成了证明．-8-利用上述公式作具体的幻方，还有一些技术性的问题需要解决．就是要在指定的数集中求解．即自由未知量在4n+4个数中选定，其它未知量也必须在这4n+4个数中选定．4n+4个未知量与4n+4个自然数构成一一对应．下面给出一个具体的求解的办法．供读者参考．读者还可找到更巧妙的解． 三 奇幻方的构造方法3.1奇幻方的构造法（n=2m+1）假定2m-1阶幻方已经做出，我们要作2m+1阶幻方．3.2排序外围正方形四边数字的个数，前4m个数字由小到大排序，后4m个数字由大到小排序，两个数列构成一一对
5、应如下：上下两个相对的数的和都等于 3.3配置上下两行从（1）中，将排好的4m对数中截取前2m+1对，配置成上下两行，如下：（为方便计记）由于幻方常数计算上下两行的和-8-所以需要对配置的两行进行必要的调整．3.4调整对（2）作如下的调整，把第二行中的1换成1+2m+1,把3换成3+2m+1,…,把2i+1换成2i+1+2m+1,…,把2m-1换成2m-1+2m+1=4m,与它们对应的第一行的数也随着变化．调整后的两行成如下形式： 3.5 组合左右两列 确定四角元素从4m对数中选出2m+1对后，余下2m-1对，组成左右两列如下： 由于4m+2=2m+(2m
6、+2)-8-由于4m+2可以拆成2m+2和2m,观察（3）中2m在上面一行，2m+2在下面一行，就把2m放在右上角，把2m+2放在右下角即可．其它两个角的元素是（3）中2m和2m+2对应的另一行上的数，把上行中其余的数加在2m-1幻方的上面下行中对应的数放在下面相对应的位置上．(4)中的上行加在左边，下行对应的数加在右边相对的位置上．这就完成了加边的工作．作出了2m+1阶幻方． 四 偶幻方的构造方法(n=2m)4.1偶幻方的构造法（n=2m）假定2m阶幻方已经做出，我们要作2m+2阶幻方．4.2排序外围正方形四边数字的个数，前4m+2个数字由小到大排序，后
7、4m+2个数字由大到小排序，两个数列构成一一对应如下：上下两个相对的数的和都等于 4.3配置上下两行从（5）中，将排好的4m+2对数中截取前2m+2对，配置成上下两行，如下：（为方便计记）计算上下两行的和所以需要对配置的两行进行必要的调整．4.4调整对（6）作如下的调整，把第一行中的2m+1换成2m+1+m+2=3m+3,那么第二行的b-2就换成b-3m-2,将第二行的2m+2换成2m+3,那么第一行的b-2m-1就换成b-2m-2,调整后的两行成如下形式：-8- 4.5 组合左右两列 确定四角元素 n=2m,其中m分为奇偶两种情况．
