现代控制理论基础上机实验之一答案[1]

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1、现代控制理论基础上机实验一亚微米超精密车床振动控制系统的状态空间法设计一.工程背景介绍超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求。为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术。其中，主动隔振控制系统采用状态空间法设计，这就是本次上机实验的工程背景。二.

2、实验目的通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：1.控制系统机理建模；2.吋域性能指标与极点配置的关系；3.状态反馈控制律设计；4.MATLAB语言的应用。四个知识点。三.工程背景的物理描述S基m—机床质量c—空气弹簧粘性阻尼系数s—机床位移仏——空气弹簧刚度系数％——地基位移G—主动隔振系统作动器（不表示参数）上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有--般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较

3、高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。床身质量的运动方程为：nis+F^+F^=0（1）Fp——空气弹簧所产生的被动控制力；Fa——作动器所产生的主动控制力。假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：坊=。+3+0{1-図/（匕+4）＜}4⑵vr——标准压力下的空气弹簧体积；y=S_S（）——相对位移（被控制量）；Pr——空气弹簧的参考压力；A——参考压力下单一弹簧的面积；Ae=4A——参考

4、压力下空气弹簧的总面积；n绝热系数。电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：FR丄（3）K——力•电流转换系数；h——电枢电流。其中，电枢电流人满足微分方程：Lia+Rh+E（h，刃=u（f）（4）厶一一控制回路电枢电感系数；R——控制回路电枢电阻；E一一控制冋路反电动势；w——控制电压。一.闭环系统的性能指标闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%,过渡过

5、程时间不大于0.5秒(A=0.02)0一.车床振动系统的开环状态空间模型首先假定必为常数，将式y=s-必两边求关于吋间的二阶导数可得:(5)=—+(莎+心歹+川1_必心+4y)］〃｝4+々/a)记为y=-—^y+k^y+(o+kj^m(6)其中co=Pr{-[Vv/(yr+Acy)r}式(6)两边求导数得：由式(6)可得:X-丄(疔+d+U)m(7)(8)由式(7)可得:my+cy+k{)y+a)(9)将式(8)和(9)代入式(4)可得：my+cy+k{)y+d)Lniy+(厶c+Rm)y4-(Lk()+Rc)y+

6、Rk{)y4-L內+Rco-Z:eE(/a，刃=—kcu(t)将非线性项厶a)+Rco-kcE(l^刃视为干扰信号，略去不计，可得线性化模型:Lmy+(厶c+Rm)y+(Lk0+Rc)y+Rk^y=-keu(t)(io)令状态变量为：召=y，兀2=»，x3=y可得状态方程X,=x2Lk(}+RcLc+Rmku2x3——uLmLmLm<丘2=禺Rko兀3=一于西一ILm开环系统的状态空间表达式为:0100—001兀2+0Rk。Lk{}+RcLc+Rm£K_LmLmLm._Lm_(11)y=[ioo]心一.状态反馈控制律的设

7、计根据性能指标^xlOO%<5%,解得$20.69,3<46.36°；根据性能指标rs--^-<0.5,解得^,>8o为留出一定的余量，取&=45°,$©=10。取闭环主导极点S］、$2的位置如下图所示。Im▲即耳=-10+)10,52=-10-/100第三个极点取为53=-80o于是，期望闭环特征多项式为(5■—)($—$2)($—$3)=($+10+)10)($+10_)10)($+80)=(2+20s+200)($+80)二¥+100/+18005+16000设状态反馈控制律为：兀1(12)(13)010丘2—00

8、1兀2丘3Rk()+kek{Lk{)+Rc+kek2Lc+Rm+kQk^_LmLmLm.则闭环系统的状态空间表达式为:兀3(14)伦］兀2y=[100]x2x3其特征多项式为3*JLc+Rm+kek32+Lk°+Rc+kek2$十R&)+kek{LmLmLm(15)Lc+Rfn+kJq二]00LmLk°+Rc+昵=j