2圆孔夫琅禾费衍射1

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1、“圆孔夫琅禾费衍射”课程设计指南孙伟燕山大学应用物理系1.Maxwell方程组和电磁波十八世纪中叶，JamesMaxwell将已知的各种电磁作用关系用一组方程组合起来，形成了一个方程组：(源于库伦定律的高斯定律)(1.1)(源于毕奥-萨瓦尔定律的高斯定律)(1.2)(法拉第定律)(1.3)(Maxwell修正的安培定律)(1.4)式中，和分别代表了电场和磁场分量。电荷密度描述空间单位体积内的电荷量分布；电流密度描述电荷的移动(单位体积电荷乘以速度)。表示真空介电常数，其值为。表示真空磁导率，其值为（或者）。在安培定律中引

2、入了一个关键参数之后，Maxwell意识到，方程组构成了一个完美的电磁现象自洽理论。此外，方程组预言了电磁波的存在，并以光速传播。在Maxwell时代之前就已经有人对光速进行了测量，因此一个显而易见的结果(当时还难以令人置信)便是，光是一种高频振荡。而在此之前，光学还仍然作为一种独立于电学和磁学的主体进行讨论的。2.波动方程当Maxwell统一了电磁理论以后，他马上意识到，波动可能是该方程组的解的形式。事实上，他希望找到一组满足波动形式的方程组，以辅助他完成找到真正的波动方程。既然已经知道了光是以波动方式传播的，基尔霍夫

3、首先注意到了正好给出了精确的光速c=3.00×108m/s5(之前就已经被测量过)，并且法拉第和克尔已经观测到强磁场和强电场会影响光在晶体中的传播。对初接触Maxwell方程组的人来说，并不能一眼就看出它的解具有波动形式。但是经过适当的数学操作，我们就可以将它变为波动方程的形式。我们来推导电场的波动方程，磁场的波动方程的推导过程是类似的。我们将方程(1.3)两边取旋度，可得：该方程可以由矢量微分恒等式简化：旋度可由安培定律的麦克斯韦修正代换，由此得到：再由高斯定律代入上式，经过整理就可得到：需要指出的是，上式中没有考虑到

4、介质的极化。若考虑到介质的极化和实际一般光学问题中自由电荷为零的条件，上式修正为：式中，为极化强度矢量。这样我们得到了一般的电场传播方程，该方程在非线性光学中有很重要的地位。当光在真空中传播时，上式中的右边所有项均为零，方程简化为：这样我们就得到了电场传播的波动方程形式。当然在有些实际问题中，前面的式子中右边的项并不是都为零，至少会有一项不为零，这与介质的性质有关。1.衍射考虑一个振动频率为的光场，其复振幅可以表述为，则它也必须满足波动方程：5由于电场振幅的含时部分是显式给出的，则上式可以简化为：式中是波矢量的大小。这就

5、是所谓的赫姆霍兹方程。如果我们忽略波动的矢量特性，而只考虑它的振幅（这里不再详细讨论其过程），那么在标量近似下，就得到了标量赫姆霍兹方程：然后，我们考虑一束沿z轴传播的光束，它的电场复振幅写成的形式。我们将它代入标量赫姆霍兹方程，得到：在傍轴近似下，有。即是说，我们假设了电场的复振幅沿z轴传播方向是缓慢变化的，与平面波类似。但是我们允许振幅沿z轴在远大于波长量级的范围上有明显的变化。这样就得到了傍轴波动方程：求解方程，得到：于是电场的表达式为：值得一提的是，基尔霍夫早在1887年就提出了著名的菲涅耳-基尔霍夫衍射公式：5

6、上两式在分母时具有一致性，并在指数上：同时，该两式的第一式是第二式在满足条件下的菲涅尔傍轴近似。另外，如果进一步满足远场条件，就得到夫琅禾费衍射近似：1.圆孔夫琅禾费衍射假设光场透过一个圆柱对称的小孔，这时，孔径上的场分布可以写为：这样，二维衍射积分可以简化为一维衍射积分。将上式代入到夫琅禾费衍射积分公式中，得到简化衍射积分式：对角度的积分项，我们可以借助下面的公式完成：式中，称为零阶Bessel函数。这样，衍射积分式可以简化为：式中的积分项也称为的汉克尔变换。在夫琅禾费衍射近似下，项等于1，积分项变为的汉克尔变换。于是

7、夫琅禾费柱对称圆孔衍射方程为：5虽然经过了一系列简化，然而是复振幅，通常都是不确定的，即使知道了强度分布，相位分布也可能是比较难预测的。当然，也可以通过辅助手段测量强度分布和相位分布。这里，我们以平面波入射为例，讨论圆孔夫琅禾费衍射问题。这时可用常数代替，不妨设为1。利用Bessel函数的递推关系，我们可以得到解析的圆孔夫琅禾费衍射公式：即使是解析式，我们还是不能直观地感受到衍射斑的样式。下面我们利用Matlab给出夫琅禾费圆孔衍射的强度分布。程序中使用了这样一个参数，因为平面波假设具有最小的衍射角，这个参数就称为衍射极

8、限角，所以在衍射区域里，只取二倍衍射极限范围就可以大致看出小孔的衍射特性。并且，对于解析表达，Matlab提供了Bessel函数工具箱，可以直接调用。当然，为了能够从图上看到跟实际观测相近的衍射环，可以将相对强度分布取四分之一次方。上面，我们使用的解析表达式绘图。接下来，我们采用数值积分方法直接求解(1.26)式夫琅